Определение логарифма

Ребята, мы продолжаем изучать различные понятия, связанные с показательными функциями. Сегодня мы столкнемся с понятием логарифма.

Давайте рассмотрим показательное уравнение: $3^x=3$.

Построив два графика функции $y=3^x$ и $y=3$, можно легко найти решение: $х=1$ – абсцисса (точка пересечения наших графиков). Тем же способом мы можем легко найти решение уравнения $3^x=9$. Но как быть в случае, если $3^x=6$ или $3^x=8$? Когда математики столкнулись с этой проблемой, они ввели новый символ, который назвали логарифмом.

Решением уравнения $3^x=6$ будет число: $x=\log_3{6}$.
Читается, как логарифм по основанию 3 числа 6. У логарифма всегда есть основание и число, из которого он вычисляется.
Мы рассмотрели частный случай, теперь давайте введем конкретное определение, которое поможет нам решать различные задачи.

Определение.
Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от одного основанию числа a называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

На математическом языке наше определение будет выглядеть так: решением уравнения $a^x=b;a>0,b>0,a≠1$ будет единственный корень $x=\log_a{b}$ (логарифм числа b по основанию a).

Примеры логарифма

Рассмотрим конкретные примеры:
$\log_3{81}=4, \ так \ как \ 3^4=81$.
$\log_2{\frac{1}{8}}=-3, \ так \ как \ 2^{-3}=\frac{1}{8}$.
$\log_{\frac{1}{4}}{16}=-2, \ так \ как \ (\frac{1}{4})^{-2}=16$.
$\log_9{3}=\frac{1}{2}, так \ как \ 9^\frac{1}{2}=3$.

Особое внимание надо обратить на три формулы, для них тоже можно сделать небольшую памятку:

1. $\log_a{a}=1$.
2. $\log_a{1}=0$.
3. $\log_a{a^b}=b$.

Примеры нахождение логарифма числа

Давайте посмотрим на конкретные примеры:
$\log_8{8}=1; \ \log_{10}{1}=0; \ \log_4{4^5}=5; \ \log_{10}{10}^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$

Давайте напишем более точное определение логарифма: $a^{\log_a{b}}=b,a>0,a≠1,b>0.$
То есть, возведя положительное число а, отличное от единицы, в степень логарифм по основанию а числа b получится число b.

Примеры:

$5^{\log_5{10}}=10;$ $\frac{1}{2}^{\log_{\frac{1}{2}}{3}}=3; $ $ 50^{\log_{50}{51}}=51$

Процесс нахождения логарифма числа обычно называется логарифмированием. Операция возведения в степень и логарифмирования являются обратными операциями. Стоит учитывать, что основание у обеих операций одинаковое. В нашем утверждении легко убедиться:
При вычислении логарифмов, обычно вычисление можно свести к решению показательного уравнения.
Ребята, обратите внимание, что логарифм по основанию 10 называются десятичным логарифмом и его принято обозначать символом lg.

Например:
$\log_{10}{4}=\lg4; \ \log_{10}{8}=\lg8 $.

Пример.
Вычислить: а) $\log_4{512}; \ б) \log_{\sqrt{5}}{\sqrt[3]{25}}; \ в) \log_{\frac{1}{3}}{9\sqrt{3}} $.
Решение.
а) То число, которое мы получим в ответе, примем за неизвестное х, тогда:
$\log_4{512}=x;\\ 4^x=512;\\ 2^{2x}=2^9;\\ 2x=9;\\ x=4.5;\\ Ответ: \log_4{512}=4,5 $

б) Пусть:
$\log_{\sqrt{5}}{(\sqrt[3]{25})}=x;\\ (\sqrt{5})^x=\sqrt[3]{25};\\ 5^{\frac{x}{2}}=5^{\frac{2}{3}};\\ \frac{x}{2}=\frac{2}{3};\\ x=\frac{4}{3};$

Ответ: $\log_{\sqrt{5}}{(\sqrt[3]{25})}=\frac{4}{3}.$

в) Пусть:
$\log_{\frac{1}{3}}{(9\sqrt{3})}=x; \\ (\frac{1}{3})^x=9\sqrt{3};\\ 3^{-x}=3^2*3^{\frac{1}{2}};\\ 3^{-x}=3^{\frac{5}{2}};\\ x=-\frac{5}{2};$

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} {(9\sqrt{3})}=-\frac{5}{2}$.

Задачи для самостоятельного нахождения логарифмов

Вычислить:
$а) \log_5{(125)}; \ б)\log_{\sqrt{5}}{(\frac{1}{25})}; \ в)\log_{\frac{1}{4}}{(16)}; \\ г)\log_9{(27)}; \ д)\log_{\sqrt[3]{25}}{(\sqrt[5]{125})}; \ е)\log_{\frac{1}{9}}({27}{\sqrt{27})}.$