Как перейти на новое основание логарифма?

Ребята, мы продолжаем изучать логарифмы. Сегодня мы узнаем, как логарифмы с различными основаниями связанны между собой. Вообще логарифмов с разными основаниями бесконечно много, в основание мы можем поставить любое число большее нуля.
Рассмотрим две логарифмические функции $y=\log_3{x}$ и $y=log_4{x}$. Давайте построим их графики на одной координатной плоскости.

Посмотрим внимательно на графики. Можно предположить, что график верхней функции может получиться из графика нижней функции, если нижнюю функцию "вытянуть" вверх. Но что значит "вытягивание" на математическом языке?
Сделаем предположение: $log_3{x}=k*log_4{x}$, $k>1$.
Давайте проверим, так ли это?

Теорема. (Формула перехода к новому основанию логарифма). Если a, b, c – положительные числа, такие что, а и с не равны 1, тогда выполняется следующее равенство: $\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$.

Доказательство.
Введем замену: $x=\log_a{b}$; $y=\log_c{b}$; $z=\log_c{a}$.
Тогда: $a^x=b$; $c^y=b$; $c^z=a$.
Получили, что:
$a^x=c^y=b$.
$a^x={({c}^z)}^x=c^{x*z}=c^y=b$.
$c^{x*z}=c^y => x*z=y$.
$x=\frac{y}{z}$.
Введя обратную замену, получим: $\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$.
Что и требовалось доказать.

Вернемся к началу. Мы предположили: $\log_3{x}=k*log_4{x}$.
Используя формулу нашей теоремы, получим: $\log_4{x}=\frac{\log_3{x}}{log_3{4}}$.
$\log_3{x}=\log_3{4}*\log_4{x}$.
То есть $k=\log_3{4}$.

Давайте рассмотрим примеры переходов к новым основаниям:
$\log_5{3}=\frac{\log_4{3}}{log_4{5}}$.
$lg5=\frac{\log_2{5}}{log_2{10}}$.
$\log_5{x}=\frac{log_7{x}}{log_7{5}} => \log_7{x}=\log_5{x}*\log_7{5}$.

Следствие из теоремы

Ребята, давайте запишем два важных следствия из наших теорем.

Следствие 1.Если a, b – положительные числа, которые не равны 1, тогда выполняется следующее равенство: $\log_a{b}=\frac{1}{\log_b{a}}$.
Следствие доказывается легко, по формуле перехода к новому основанию:
$\log_a{b}=\frac{\log_b{b}}{\log_b{a}}=\frac{1}{\log_b{a}}$.

Следствие 2. Если a, b – положительные числа, $а≠1$, то для любого числа $r≠0$ справедливо равенство: $\log_a{b}=\log_{a^r}{b^r}$.
Доказательство.
Опять воспользуемся формулой перехода к новому основанию:
$\log_{a^r}{b^r}=\frac{\log_a{b^r}}{log_a{a^r}}=\frac{r*\log_a{b}}{r*log_a{a}}=\log_a{b}$.
Что и требовалось доказать.

Пример.
Известно, что: $\lg{2}=a$, $lg{5}=b$. Найти: $\log_2{20}$.
Решение.
$\log_2{20}=\frac{\lg{20}}{lg{2}}=\frac{\lg{(5*2^2)}}{lg{(10:2)}}=\frac{lg{5}+lg{2^2}}{lg{10}-lg{2}}=\frac{b+2a}{1-a}$.
Ответ: $\log_2{20}=\frac{b+2a}{1-a}$.

Пример.
Решить уравнение: $3{\log_3}^2{x}=\frac{5}{\log_x{3}}+2$.
Решение.
Воспользуемся следствием 1:
$\log_x{3}=\frac{1}{\log_3{x}}$.
Тогда наше уравнение примет вид:
$3{\log_3}^2{x}=5\log_3{x}+2$.
$3{\log_3}^2{x}-5\log_3{x}+2=0$.
Введем замену: $y=\log_3{x}$.
$3y^2-5y+2=0$.
$(3y-2)(y-1)=0$.
$y_1=1$ и $y_2=\frac{2}{3}$.
Введем обратную замену:
$\log_3{x}=1 => x=3$.
$\log_3{x}=\frac{2}{3} => x=3^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{9}$.
Ответ: $x=3$ и $x=\sqrt[3]{9}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Известно, что $\lg{2}=a$, $lg{7}=b$.
Найти: $\log_{20}{28}$.
2. Решить уравнение: $2{\log_2}^2{x}=\frac{5}{\log_x{2}}+3$.