Номер свидетельства СМИ ЭЛ № ФС 77 - 63677 зарегистрировано Роскомнадзором Личный кабинет Регистрация
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...

Алгебра – 11 класс. Вычисление площади с помощью интеграла

Урок и презентация на тему: "Вычисление площади с помощью интеграла"




Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Скачать: Вычисление площади с помощью интеграла (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"





Ребята, на прошлом уроке мы вычисляли площади различных фигур, ограниченных некоторым графиком при наличии дополнительных условий. Во всех рассмотренных примерах нижним основанием требуемых фигур, служила прямая $y=0$. А если фигура ограничена снизу произвольной прямой?

Давайте рассмотрим произвольную фигуру. Сверху она ограничена графиком функции $y=f(x)$, снизу - графиком функции $y=g(x)$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. Учтем, что на отрезке $[a;b]$ выполняется неравенство $f(x)≥g(x)$.
Вычисление площади с помощью интеграла
До сих пор мы вычисляли площади фигур, которые были расположены выше оси абсцисс. Давайте параллельно перенесем нашу фигуру на m единиц вверх. Её площадь от такой операции не изменится, изменится только общий вид заданных функций. Сверху наша фигура будет ограничена функцией $y=f(x)+m$, снизу - $y=g(x)+m$.
Вычисление площади с помощью интеграла
Площадь требуемой фигуры S можно вычислить как разность двух площадей двух фигур.
Первую фигуру, ограниченную прямыми $x=a$ и $x=b$, осью абсцисс и функцией $y=f(x)+m$, обозначим как $S_1$. Вторую фигуру, ограниченную прямыми $x=a$ и $x=b$, осью абсцисс и функцией $y=g(x)+m$, обозначим как $S_2$.
Тогда:
$S_1=∫_a^b (f(x)+m)dx$.
$S_2=∫_a^b (g(x)+m)dx$.
$S=S_1-S_2=∫_a^b (f(x)+m)dx-∫_a^b (g(x)+m)dx=$ $=∫_a^b ((f(x)+m)-(g(x)+m))dx=∫_a^b (f(x)-g(x)+m-m)dx=$ $=∫_a^b (f(x)-g(x))dx$.
Площадь фигуры, ограниченной прямыми $x=a$ и $x=b$ и графиками функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$, непрерывных на отрезке $[a;b]$, вычисляется по формуле: $S=∫_a^b (f(x)-g(x))dx$. Причем для любого х из отрезка $[a;b]$ выполняется неравенство $g(x)≤ f(x).$

Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y=e^x$; $y=\frac{1}{x}$; $x=1$; $x=2$.
Решение.
Построим графики наших функций на одной координатной плоскости. Вычисление площади с помощью интеграла
Сверху наша фигура ограничена графиком функции $y=e^x$.
Снизу наша фигура ограничена графиком функции $y=\frac{1}{x}$.
Воспользуемся формулой вычисления площадей:
$S=∫_1^2 (e^x-\frac{1}{x})dx=∫_1^2 (e^x)dx-∫_1^2 \frac{1}{x}dx=$ $=e^x|_1^2–lnx|_1^2=e^2-e^1-(ln2-ln1)=e^2-e^1-ln2$.
Ответ: $S=e^2-e^1-ln2$.

Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y=x^2-3x+2$; $y=x-1$.
Решение.
Построим графики наших функций.
График первой функции - парабола. Ее вершину легко найти, приравняв уравнение производной к нулю: $y'=(x^2-3x+2)'=2x-3$.
$2x-3=0$.
$x=1,5$.
Вычислим значение самой функции в вершине: $y={(1,5)}^2-3*1,5+2=2,25-4,5+2=-0,25$.
Дальше график параболы легко построить по точкам.
График второй функции – прямая. Такие графики мы умеем строить.
Оба графика построим на одной координатной плоскости.
Вычисление площади с помощью интеграла
Площадь требуемой фигуры закрашена. Давайте вычислим ее.
$S=∫_1^3 (x-1-x^2+3x-2)dx=∫_1^3 ({-x}^2+4x-3)dx=$ $=∫_1^3 ({-x}^2)dx+∫_1^3 (4x)dx+∫_1^3 (-3)dx=-\frac{x^3}{3}|_1^3+2x^2|_1^3-3x|_1^3=$ $=-(\frac{27}{3}-\frac{1}{3})+2(9-1)-3(3-1)=-\frac{26}{3}+16-6=1\frac{1}{3}$.


Задачи для самостоятельного решения


1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: $y=e^{2x}$; $y=\frac{1}{3x}$; $x=1$; $x=3$.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: $y=x^2-2x$; $y=x+1$.




Звезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна
 
Издатель: СМИ "Математика в школе",
пр. Ленина д.33 корп. 3 офис 2, г. Чебоксары, Чувашия, 428000 , +7 (906) 384-18-43
Логотип СМИ
СМИ Математика в школе

задачи

тесты и уроки