Логарифмические неравенства, знакомство

Ребята, мы знаем, как решать логарифмические уравнения, сегодня мы научимся решать логарифмические неравенства.
Они имеют вот такой вид: $\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$, $f(x)>0$, $g(x)>0$.

Давайте преобразуем наше неравенство и разберемся, как решать его.
$\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$.
$\log_a{f(x)}-\log_a{g(x)}>0$.
$\frac{\log_a {(f(x)}}{log_a{g(x)}}>0$.
Введем замену: $t=\frac{f(x)}{(g(x)}$.
$\log_a{t}>0$.

Нам осталось рассмотреть два случая: $а>1$ и $0<a<1$.
Ребята, вспомните график функции логарифма при разных значениях основания.
Если $а>1$, то $\log_a{t}>0$, когда $t>1$, то есть $f(x)>g(x)$.
Если $0<a<1$, то $\log_a{t}>0$, когда $0<t<1$, то есть $f(x)<g(x)$.


Давайте сформулируем основное правило при решении логарифмических неравенств.
Если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то:

• при $a>1$ логарифмическое неравенство $\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$ равносильно неравенству того же смысла: $f(x)>g(x)$,
• при $0<a<1$ логарифмическое неравенство $\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$ равносильно неравенству противоположного смысла: $f(x)<g(x)$.

Также при решении логарифмических неравенств следует помнить о том, что если выражения, стоящие под знаком логарифма, строго положительны, тогда неравенство обычно преобразует к системе неравенств.

Примеры решения логарифмических неравенств

$\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$, $a>1$ равносильно системе: $\begin{cases} f(x)>0,\\ g(x)>0,\\ f(x)>g(x).\end{cases}$
$\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$, $0<a<1$ равносильно системе: $\begin{cases} f(x)>0,\\ g(x)>0,\\ f(x)<g(x).\end{cases}$


Пример.
Решить неравенства:
а) $\log_4{(5-x)}>\log_4{(3+x)}.$
б) $\log_{\frac{1}{3}}{(2+x)}>\log_{\frac{1}{3}}{(1+2x)}.$
Решение.
а) Основание логарифма равно 4, что больше 1, тогда наше неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} 5-x>0,\\ 3+x>0,\\ 5-x>3+x.\end{cases}$
$\begin{cases} x<5,\\ x>-3,\\ x<1.\end{cases}$

Построим наши промежутки на рисунке и найдем их пересечение: Ответ: $xϵ(-3;1)$.


б) Основание логарифма, в нашем примере, меньше 1, переходим к неравенству противоположного смысла, тогда логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств:
$\begin{cases} 2+x>0,\\ 1+2x>0,\\ 2+x<1+2x.\end{cases}$
$\begin{cases} x>-2;\\ x>-0,5;\\ -x<-1.\end{cases}$
$\begin{cases} x>-2;\\ x>-0,5;\\ x>1.\end{cases}$

В нашем случае можно не строить рисунок с промежутками, очевидно, что $x>1$.
Ответ: $x>1$.


Пример.
Решить неравенство: $\log_{\frac{1}{5}}{(25+5x-x^2)}≤-2$.
Решение.
Поработаем с правой частью неравенства, представим число -2 в виде логарифма с основанием одной пятой.
$-2=\log_{\frac{1}{5}}{(\frac{1}{5})}^{-2}=\log_{\frac{1}{5}}{25}$.
Итак: $\log_{\frac{1}{5}}{(25+5x-x^2)}≤\log_{\frac{1}{5}}{25}$.
Основание логарифма меньше 1, переходим к неравенству противоположному по смыслу:
$\begin{cases} (25+5x-x^2>0;\\ 25+5x-x^2≥25.\end{cases}$
Обратим внимание на то, что первое неравенство системы мы можем не решать, так как в левой части, обоих неравенств, у нас стоят одинаковые выражения, а в правой положительные числа. Если $А≥25$, то очевидно, что $А>0$.
Решим неравенство
$25+5x-x^2≥25$.
$5x-x^2≥0$.
$x^2-5x≤0$.
$x(x-5)≤0$.
Построим промежуток: Ответ: $xϵ[0;5]$.

Пример.
Решить неравенство: $\log_2{(7-x)}+\log_2{x}≥1+\log_2{3}$.
Решение.
Рассмотрим левую часть неравенства: $\log_2{(7-x)}+\log_2{x}=\log_2{((7-x)*x)}=\log_2{(7x-x^2)}$.
Рассмотрим правую часть неравенства:
$1+\log_2{3}=\log_2{2}+\log_2{3}=log_2{6}$.
Исходное неравенство равносильно неравенству:
$\log_2{(7x-x^2)}≥log_2{6}$.
Основание логарифма больше 1, тогда мы можем перейти к неравенству того же знака и нам останется решить систему: $\begin{cases} (7-x>0;\\ x>0;\\ 7x-x^2≥6.\end{cases}$
$\begin{cases} x<7;\\ x>0;\\ 7x-x^2-6≥0.\end{cases}$
$\begin{cases} x<7;\\ x>0;\\ x^2-7x+6≤0.\end{cases}$
$\begin{cases} x<7;\\ x>0;\\ (x-6)(x-1)≤0.\end{cases}$
Графически найдем решение:
Ответ: $xϵ[1;6]$.

Пример.
Решить неравенство: $\lg^2{(x^2)}-15\lg{(x)}+2≤0$.
Решение.
Посмотрим внимательно на выражение: $\lg^2{(x^2)}$.
$\lg^2{(x^2)}={(\lg(x^2))}^2={(2\lg(x))}^2=4\lg^2{(x)}$.
Воспользуемся методом замены переменных.
Пусть $y=lg{(x)}$.
Наше неравенство примет вид:
$4y^2-15y+2≤0$.
$(4y+1)(y-4)≤0$.
Решением нашего неравенства будет промежуток: -$\frac{1}{4}≤y≤4$.
Введем обратную замену:
-$\frac{1}{4}≤\lg{(x)}≤4$.
${10}^{-\frac{1}{4}}≤x≤{10}^4$.
$\frac{1}{\sqrt[4]{10}}≤x≤{10}^4$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{10}}≤x≤{10}^4$.

Задачи на логарифмические неравенства для самостоятельного решения

1. Решить неравенства:
а) $\log_3{(7-2x)}>\log_3{(-2+x)}$.
б) $\log_{\frac{1}{4}}{(3+2x)}<\log_{\frac{1}{4}}{(4+x)}$.
2. Решить неравенство: $\log_{\frac{1}{3}}{(27+8x-2x^2)}≤-3$.
3. Решить неравенство: $\log_5{(x-2)}+\log_5{x}≥1+\log_5{3}$.
4. Решить неравенство: $\lg^2{(x)}-lg{(x)}-56≤0$.