МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

Номер свидетельства СМИ ЭЛ № ФС 77 - 63677 зарегистрировано Роскомнадзором

Алгебра – 11 класс. Логарифмические неравенства

Урок и презентация на тему: "Логарифмические неравенства. Примеры решений"




Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.




Скачать: Логарифмические неравенства (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"





Логарифмические неравенства, знакомство


Ребята, мы знаем, как решать логарифмические уравнения, сегодня мы научимся решать логарифмические неравенства.
Они имеют вот такой вид: $\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$, $f(x)>0$, $g(x)>0$.

Давайте преобразуем наше неравенство и разберемся, как решать его.
$\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$.
$\log_a{f(x)}-\log_a{g(x)}>0$.
$\frac{\log_a {(f(x)}}{log_a{g(x)}}>0$.
Введем замену: $t=\frac{f(x)}{(g(x)}$.
$\log_a{t}>0$.

Нам осталось рассмотреть два случая: $а>1$ и $0<a<1$.
Ребята, вспомните график функции логарифма при разных значениях основания.
Если $а>1$, то $\log_a{t}>0$, когда $t>1$, то есть $f(x)>g(x)$.
Если $0<a<1$, то $\log_a{t}>0$, когда $0<t<1$, то есть $f(x)<g(x)$.
Логарифм

Давайте сформулируем основное правило при решении логарифмических неравенств.
Если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то:
  • при $a>1$ логарифмическое неравенство $\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$ равносильно неравенству того же смысла: $f(x)>g(x)$,
  • при $0<a<1$ логарифмическое неравенство $\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$ равносильно неравенству противоположного смысла: $f(x)<g(x)$.

Также при решении логарифмических неравенств следует помнить о том, что если выражения, стоящие под знаком логарифма, строго положительны, тогда неравенство обычно преобразует к системе неравенств.


Примеры решения логарифмических неравенств


$\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$, $a>1$ равносильно системе: $\begin{cases} f(x)>0,\\ g(x)>0,\\ f(x)>g(x).\end{cases}$
$\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$, $0<a<1$ равносильно системе: $\begin{cases} f(x)>0,\\ g(x)>0,\\ f(x)<g(x).\end{cases}$


Пример.
Решить неравенства:
а) $\log_4{(5-x)}>\log_4{(3+x)}.$
б) $\log_{\frac{1}{3}}{(2+x)}>\log_{\frac{1}{3}}{(1+2x)}.$
Решение.
а) Основание логарифма равно 4, что больше 1, тогда наше неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} 5-x>0,\\ 3+x>0,\\ 5-x>3+x.\end{cases}$
$\begin{cases} x<5,\\ x>-3,\\ x<1.\end{cases}$

Построим наши промежутки на рисунке и найдем их пересечение: Логарифмические неравенства Ответ: $xϵ(-3;1)$.


б) Основание логарифма, в нашем примере, меньше 1, переходим к неравенству противоположного смысла, тогда логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств:
$\begin{cases} 2+x>0,\\ 1+2x>0,\\ 2+x<1+2x.\end{cases}$
$\begin{cases} x>-2;\\ x>-0,5;\\ -x<-1.\end{cases}$
$\begin{cases} x>-2;\\ x>-0,5;\\ x>1.\end{cases}$

В нашем случае можно не строить рисунок с промежутками, очевидно, что $x>1$.
Ответ: $x>1$.


Пример.
Решить неравенство: $\log_{\frac{1}{5}}{(25+5x-x^2)}≤-2$.
Решение.
Поработаем с правой частью неравенства, представим число -2 в виде логарифма с основанием одной пятой.
$-2=\log_{\frac{1}{5}}{(\frac{1}{5})}^{-2}=\log_{\frac{1}{5}}{25}$.
Итак: $\log_{\frac{1}{5}}{(25+5x-x^2)}≤\log_{\frac{1}{5}}{25}$.
Основание логарифма меньше 1, переходим к неравенству противоположному по смыслу:
$\begin{cases} (25+5x-x^2>0;\\ 25+5x-x^2≥25.\end{cases}$
Обратим внимание на то, что первое неравенство системы мы можем не решать, так как в левой части, обоих неравенств, у нас стоят одинаковые выражения, а в правой положительные числа. Если $А≥25$, то очевидно, что $А>0$.
Решим неравенство
$25+5x-x^2≥25$.
$5x-x^2≥0$.
$x^2-5x≤0$.
$x(x-5)≤0$.
Построим промежуток: Логарифмические неравенства Ответ: $xϵ[0;5]$.

Пример.
Решить неравенство: $\log_2{(7-x)}+\log_2{x}≥1+\log_2{3}$.
Решение.
Рассмотрим левую часть неравенства: $\log_2{(7-x)}+\log_2{x}=\log_2{((7-x)*x)}=\log_2{(7x-x^2)}$.
Рассмотрим правую часть неравенства:
$1+\log_2{3}=\log_2{2}+\log_2{3}=log_2{6}$.
Исходное неравенство равносильно неравенству:
$\log_2{(7x-x^2)}≥log_2{6}$.
Основание логарифма больше 1, тогда мы можем перейти к неравенству того же знака и нам останется решить систему: $\begin{cases} (7-x>0;\\ x>0;\\ 7x-x^2≥6.\end{cases}$
$\begin{cases} x<7;\\ x>0;\\ 7x-x^2-6≥0.\end{cases}$
$\begin{cases} x<7;\\ x>0;\\ x^2-7x+6≤0.\end{cases}$
$\begin{cases} x<7;\\ x>0;\\ (x-6)(x-1)≤0.\end{cases}$
Графически найдем решение: Логарифмические неравенства
Ответ: $xϵ[1;6]$.

Пример.
Решить неравенство: $\lg^2{(x^2)}-15\lg{(x)}+2≤0$.
Решение.
Посмотрим внимательно на выражение: $\lg^2{(x^2)}$.
$\lg^2{(x^2)}={(\lg(x^2))}^2={(2\lg(x))}^2=4\lg^2{(x)}$.
Воспользуемся методом замены переменных.
Пусть $y=lg{(x)}$.
Наше неравенство примет вид:
$4y^2-15y+2≤0$.
$(4y+1)(y-4)≤0$.
Решением нашего неравенства будет промежуток: -$\frac{1}{4}≤y≤4$.
Введем обратную замену:
-$\frac{1}{4}≤\lg{(x)}≤4$.
${10}^{-\frac{1}{4}}≤x≤{10}^4$.
$\frac{1}{\sqrt[4]{10}}≤x≤{10}^4$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{10}}≤x≤{10}^4$.


Задачи на логарифмические неравенства для самостоятельного решения


1. Решить неравенства:
а) $\log_3{(7-2x)}>\log_3{(-2+x)}$.
б) $\log_{\frac{1}{4}}{(3+2x)}<\log_{\frac{1}{4}}{(4+x)}$.
2. Решить неравенство: $\log_{\frac{1}{3}}{(27+8x-2x^2)}≤-3$.
3. Решить неравенство: $\log_5{(x-2)}+\log_5{x}≥1+\log_5{3}$.
4. Решить неравенство: $\lg^2{(x)}-lg{(x)}-56≤0$.




Добавить комментарий

Защитный код
Обновить