Степенные функции, область определения.

Ребята, на прошлом уроке мы узнали, как работать с числами с рациональным показателем степени. На этом уроке мы рассмотрим степенные функции и ограничимся случаем, когда показатель степени рациональный.
Мы будем рассматривать функции вида: $y=x^{\frac{m}{n}}$.
Рассмотрим сначала функции, у которых показатель степени $\frac{m}{n}>1$.
Пусть нам дана конкретная функция $y=x^2*5$.
Согласно определению, которое мы дали на прошлом уроке: если $x≥0$, то есть область определения нашей функции - это луч $[0;+∞)$.
Таблица значений.


Давайте, сравним три степенных функции: $y=x^2$; $y=x^{2,5}$; $y=x^3$.
Число 2,5 лежит между 2 и 3, тогда кажется, что и график нашей функции будет лежать между соответствующими графиками. Сравним значения функций при различных х.
1. Если $0<x<1$, то $x^6<x^5<x^4$, но и выполняется $\sqrt{x^6}<\sqrt{x^5}<\sqrt{x^4}$ или $x^3<x^{2,5}<x^2$.
2. Если $x>1$, то $x^4<x^5<x^6$, но и выполняется $\sqrt{x^4}<\sqrt{x^5}<\sqrt{x^6}$ или $x^2<x^{2,5}<x^3$.
Давайте построим все три графика на одном рисунке:
На первом рисунке построим графики для случая $0<x<1$.

На нашем графике синим показана функция $y=x^2$; красным - $y=x^{2,5}$; зеленым - $y=x^3$.
Теперь построим графики на всей области определения функции $y=x^{2,5}$.
Цвет графиков такой же как и на предыдущем рисунке.
График функции $y=x^{\frac{m}{n}}$, $(m>n)$ – кривая, проходящая через точки (0,0) и (1,1), и похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель, тем круче вверх уходит график функции.

Свойства степенных функций

Свойства функции $y=x^{\frac{m}{n}}$, $(m>n)$:
1. $D(y)=[0;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на $[0;+∞)$.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение равно нулю.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=[0; +∞)$.
8. Выпукла вниз.

Перейдем к случаю, когда показателя степени - правильная дробь (то есть, когда числитель меньше знаменателя).
График функции $y=x^{\frac{m}{n}}$, $(m>n)$ похож на график функции $y=\sqrt[n]{x}$. Давайте схематично изобразим наш график функции.
Свойства функции $y=x^{\frac{m}{n}}$, $0<\frac{m}{n}<1$:
1. $D(y)=[0;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на $[0;+∞)$.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение равно нулю.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=[0; +∞)$.
8. Выпукла вверх.

Нам осталось рассмотреть график функции $y=x^{-\frac{m}{n}}$. Не трудно догадаться, что наш график будет иметь схожий вид с гиперболой. График имеет две асимптоты: горизонтальную $y=0$ и вертикальную $х=0$. Давайте схематично изобразим наш график:
Свойства функции $y=x^{-\frac{m}{n}}$.
1. $D(y)=(0;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Убывает на $(0;+∞)$.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение равно нулю.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Выпукла вниз.

Свойства дифференцируемости функции

Ребята, мы с вами забыли очень важное свойство – дифференцируемость функции. Чему равна производная степенной функции с рациональным показателем?

Определение. Если $x>0$ и r – любое рациональное число, то производная степенной функции $y=x^r$ вычисляется по формуле: $y'=r*x^{r-1}$.

Например: $(x^{1000})'=1000x^{999}$;
$(x^{-8})'=-8x^{-9}$;
$\frac{2}{(x^3)'}=\frac{2}{3}*x^{-\frac{1}{3}}$.
$(\sqrt[6]{(2x+5)^5})'=((2x+5)^{\frac{5}{6}})'=2*\frac{5}{6}(2x+5)^{-\frac{1}{6}}=\frac{5}{3}(2x+5)^{-\frac{1}{6}}$.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=x^{\frac{5}{2}}$ на отрезке:
а) $[1;16]$,
б) $(2,10)$,
в) на луче $[9;+∞)$.
Решение.
Показатель степени нашей функции положительный. Тогда посмотрев на свойства нашей функции мы видим, что она возрастает на всей области определения. Это значит, что она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах заданных отрезков (если она определена в этих точках).
а)$y_{наим.}=1^{\frac{2}{5}}=1$; $y_{наиб.}=16^{\frac{5}{2}}=(\sqrt{16})^5=4^5=1024$.
б) Наибольшего и наименьшего значения функции на этом промежутке нет, так как нам дан открытый промежуток, и точки 0 и 4 этому промежутку не принадлежат.
в) Наибольшего значения нет.
$y_{наим.}=9^{\frac{5}{2}}=\sqrt{9^5}=(\sqrt{9})^5=3^5=243$.


Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=\frac{16}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{4}x^4$ на отрезке $[1;9]$.
Решение.
Ребята, вы помните как мы находили наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке в 10 классе?
Правильно, мы использовали производную. Давайте решим наш пример и повторим алгоритм поиска наименьшего и наибольшего значения.
1. Найдем производную заданной функции:
$y'=\frac{16}{5}*\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-x^3=8x^{\frac{3}{2}}-x^3=8\sqrt{x^3}-x^3$.
2. Производная существует на всей области определения исходной функции, тогда критических точек нет. Найдем стационарные точки:
$y'=8\sqrt{x^3}-x^3=0$.
$8*\sqrt{x^3}=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ и $x_2=\sqrt[3]{64}=4$.
Заданному отрезку принадлежит только одно решение $x_2=4$.
Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума:
Ответ: $y_{наим.}=-862,65$ при $x=9$; $y_{наиб.}=38,4$ при $x=4$.

Пример. Решить уравнение: $x^{\frac{4}{3}}=24-x$.
Решение. График функции $y=x^{\frac{4}{3}}$ возрастает, а график функции $у=24-х$ убывает. Ребята, мы с вами знаем: если одна функция возрастает, а другая убывает, то они пересекаются только в одной точке, то есть у нас только одно решение.
Заметим:
$8^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{8^4}=(\sqrt[3]{8})^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
То есть при $х=8$ мы получили верное равенство $16=16$, это и есть решение нашего уравнения.
Ответ: $х=8$.

Пример.
Построить график функции: $y=(x-3)^\frac{3}{4}+2$.
Решение.
График нашей функции получается из графика функции $y=x^{\frac{3}{4}}$, смещением его на 3 единицы вправо и 2 единицы вверх.

Пример. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^{-\frac{4}{5}}$ в точке $х=1$.
Решение. Уравнение касательной определяется известной нам формулой:
$y=f(a)+f'(a)(x-a)$.
В нашем случае $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^{-\frac{4}{5}}=1$.
Найдем производную:
$y'=-\frac{4}{5}x^{-\frac{9}{5}}$.
Вычислим:
$f'(a)=-\frac{4}{5}*1^{-\frac{9}{5}}=-\frac{4}{5}$.
Найдем уравнение касательной:
$y=1-\frac{4}{5}(x-1)=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}$.
Ответ: $y=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^\frac{4}{3}$ на отрезке:
а) $[1;8]$.
б) $(4,50)$.
в) на луче $[27;+∞)$.
2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x$ на отрезке $[1;27]$.
3. Решить уравнение: $x^{\frac{1}{4}}=18-x$.
4. Построить график функции: $y=(x+1)^{\frac{3}{2}}-1$.
5. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^{-\frac{3}{7}}$ в точке $х=1$.