Ребята, вы уже изучали одночлены в теме: Стандартный вид одночлена. Определения. Примеры. Давайте повторим основные определения.

Одночлен – выражение, состоящие из произведения чисел и переменных. Переменные могут быть возведены в натуральную степень. Одночлен не содержит ни каких других действий, кроме умножения.

Стандартный вид одночлена – такой вид, когда на первом месте стоит коэффициент (числовой множитель), а за ним степени различных переменных.

Подобные одночлены – это либо одинаковые одночлены, либо одночлены, которые отличаются друг от друга на коэффициент.

Понятие многочлена

Многочлен, как и одночлен, – это обобщенное название математических выражений определенного вида. Мы уже сталкивались с такими обобщениями ранее. Например, "сумма", "произведение", "возведение в степень". Когда мы слышим "разность чисел", нам и в голову не придет мысль об умножении или делении. Также и многочлен – это выражение строго определенного вида.

Определение многочлена

Многочлен – это сумма одночленов.

Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена. Если слагаемых два, то мы имеем дело с двучленом, еcли три, то с трехчленом. Если слагаемых больше говорят – многочлен.

Примеры многочленов.

1) 2аb + 4сd (двучлен);

2) 4аb + 3сd + 4x (трехчлен);

3) 4а²b⁴ + 4с⁸d⁹ + 2xу³;

3с⁷d⁸ - 2b⁶c²d + 7xу - 5xy².

Посмотрим внимательно на последние выражение. По определению, многочлен это – сумма одночленов, но в последнем примере мы не только складываем, но и вычитаем одночлены.
Чтобы внести ясность рассмотрим небольшой пример.

Запишем выражение а + b - с ( договоримся, что а ≥ 0, b ≥ 0 и с ≥0) и ответим на вопрос: это сумма или разность? Сложно сказать.
Действительно, если переписать выражение, как а + b + (-с), мы получим сумму двух положительных и одного отрицательного слагаемых.
Если посмотреть на наш пример, то мы имеем дело именно с суммой одночленов с коэффициентами: 3, - 2, 7, -5. В математике есть термин "алгебраическая сумма". Таким образом, в определении многочлена имеется в виду "алгебраическая сумма".

А вот запись вида 3а : b + 7с многочленом не является потому, что 3а : b не является одночленом.
Не является многочленом и запись вида 3b + 2а * (с² + d), так как 2а * (с² + d) – не одночлен. Если раскрыть скобки, то полученное выражение будет являться многочленом.
3b + 2а * (с² + d) = 3b + 2ас² + 2аd.

Степенью многочлена является наивысшая степень его членов.
Многочлен а³b² +а ⁴ имеет пятую степень, так как степень одночлена а³b² равна 2 + 3= 5, а степень одночлена а⁴ равна 4.

Стандартный вид многочлена

Многочлен, не имеющий подобных членов и записанный в порядке убывания степеней членов многочлена, является многочленом стандартного вида.

Многочлен приводят к стандартному виду, что бы убрать излишнюю громоздкость написания и упростить дальнейшие действия с ним.

Действительно, зачем к примеру писать длинное выражение 2b² + 3b² + 4b² + 2а² + а² + 4 + 4, когда его можно записать короче 9b² + 3а² + 8 .

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, надо:
1. привести все его члены к стандартному виду,
2. сложить подобные (одинаковые или с разным числовым коэффициентом) члены. Данная процедура часто называется приведением подобных.

Пример.
Привести многочлен аba + 2у²х⁴х + у²х³х² + 4 + 10а²b + 10 к стандартному виду.

Решение.

а²b + 2 х⁵у² + х⁵у² + 10а²b + 14= 11а²b + 3 х⁵у² + 14.

Определим степени одночленов, входящих в состав выражения, и расставим их в порядке убывания.
11а²b имеет третью степень, 3 х⁵у² имеет седьмую степень, 14 – нулевую степень.
Значит, на первое место мы поставим 3 х⁵у² (7 степень), на второе – 12а²b (3 степень) и на третье – 14 (нулевая степень).
В итоге получим многочлен стандартного вида 3х⁵у² + 11а²b + 14.

Примеры для самостоятельного решения

Привести к стандартному виду многочлены.

1) 4b³аa - 5х²у + 6ас - 2b³а² - 56 + ас + х²у + 50 * (2 а²b³ - 4х²у + 7ас - 6);

2) 6а⁵b + 3х²у + 45 + х²у + аb - 40 * (6а⁵b + 4ху + аb + 5);

3) 4ах² + 5bс - 6а - 24bс + хаx⁴x (5ах⁶ - 19bс - 6а);

4) 7аbс² + 5асbс + 7аb² - 6bаb + 2саbс (14аbс² + аb²).