Алгебра – 7 класс. График и свойства функции $y=x^2$
Урок на тему: "График и свойства функции $y=x^2$. Примеры построения графиков"
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать: График и свойства функции y=x2 (PDF)
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Интерактивный тренажер "Правила и упражнения по алгебре"
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 7 класса, онлайн версия
Функция – это зависимость одной переменной от другой.
График функции – графическое изображение функции.
Свойства функции
- Область определения функции – все значения, которые может принимать независимая переменная.
- Область значений функции – все значения, которые может принимать зависимая переменная.
- Нули функции – значение независимой переменной, при которой зависимая переменная равна 0.
- Минимальное значение функции – минимальное значение зависимой переменной.
- Максимальное значение функции – максимальное значение зависимой переменной.
Свойства функции $y=x^2$
Давайте опишем свойства данной функции:
1. x – независимая переменная, y – зависимая переменная.
2. Область определения: очевидно, что для любого значения аргумента (x) существует значение функции (y). Соответственно область определения данной функции вся числовая прямая.
3. Область значений: y не может быть меньше 0, так как квадрат любого числа есть число положительное.
4. Если x=0, то и y=0.
5. Обратите внимание, что для противоположных значений аргумента функция принимает одинаковое значение. Для пары чисел x = 1 и x = -1 значение функции будет 1, т.е. y = 1. Для пары чисел x = 2 и x = – 2; y = 4 и т.д.
$y = x^2 =(-x)^2$.
График функции $y=x^2$
Внимательно посмотрим на формулу y = x2 и попытаемся описать словами примерный вид будущего графика.
1. Так как y ≥ 0, то весь график не может располагаться ниже оси OX.
2. График симметричен относительно оси OY. Нам достаточно построить график для положительных значений x, а затем зеркально отразить его для отрицательных значений x.
Найдем несколько значений y:
Построим эти точки (см. рис. 1).
Если мы попробуем соединить их пунктирной линией, как показано на рис. 1 , то некоторые значения функции не попадут на эти линии, например, точки A (x = 0,5; y = 0,25) и B (x=2,5; y=6,25). Даже если мы построим очень много точек и соединим их маленькими прямыми отрезками, всегда найдутся значения y, не попадающие на эти отрезки. Поэтому точки надо соединять плавной кривой линией (см. рис. 2).
Теперь осталось зеркально отразить график для отрицательных значений x (см. рис. 3). Такая кривая называется параболой. Точка О (0;0) называется вершиной параболы. Симметричные кривые называются ветвями параболы.
Примеры
I. Дизайнеру надо покрасить часть стены дома в форме квадрата со сторонами 2,7 метра. Специальная краска для стен продается в фасовке из расчета одна банка на 1 м2. Не проводя вычисления, выясни, сколько банок краски надо купить, что бы после окрашивания не осталось лишних не распечатанных банок.
Решение:
1. Построим параболу.
2. Найдем на параболе точку А, у которой координата x=2,7 (см. рис. 4).
3. Мы видим, что в этой точке значение функции больше 7, но меньше 8. Значит, дизайнеру потребуется минимум 8 банок краски.
II. Построить график функции у= (х + 1)2.
Найдем несколько значений y.
Построим эти точки и прямую x= -1, параллельную оси OY. Очевидно, что построенные точки симметричны относительно этой прямой. В результате у нас получится такая же парабола, только смещенная влево по оси OX (см. рис.5).
