Степень с натуральным показателем

В жизни часто встречаются ситуации, когда приходится сталкиваться с выражениями вида:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 или 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7.

Такие записи длинные и неудобные. Математика позволяет представить такие выражения гораздо короче.
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 5.
7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 * 8.

Такой же прием можно использовать для операции умножения.
Например, 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 4⁶.

Операцию aⁿ называют возведением числа а в степень n.
Здесь а – основание степени, n – показатель степени. Мы рассматриваем случаи, когда n – натуральное число.

В общем случае aⁿ = a * a * a * .... * a, где а повторяется n раз.

Рассмотрим несколько примеров.
1) 4³ = 4 * 4 * 4 = 64.
Здесь число 4 – основание степени, а число 3 – показатель степени.

2) (-3)⁵ = (-3) * (-3) * (-3) * (-3) * (-3) = -243

Запомните!
Число в степени единица всегда равно самому числу.
7¹ = 7
1ⁿ = 1
0ⁿ = 0

Свойства степеней с натуральным показателем

Свойство 1.
Для любого числа а и натуральных чисел n и k справедливо утверждение: aⁿ * a^k = a ^{n + k}.

Примеры:

5³ * 5 ² = 5 ⁵.

(-3)¹ * (-3)³ = (-3)⁴.

Свойство 2.
Для a ≠ 0 и натуральных чисел n и k, причем n > k, справедливо утверждение: aⁿ : a^k = a ^{n - k}.

Примеры:

6⁴ : 6 ² = 6 ².

(-2)⁵ : (-2)² = (-2)³.

Свойство 3.
Для a ≠ 0 и натуральных чисел n и k, причем n > k, справедливо утверждение: (aⁿ)^k = a ^{n * k}

Пример:

(7³ ) ² = 7 ⁶.