Ребята, на последних уроках мы строили большое количество графиков, в том числе много парабол. Сегодня мы обобщим полученные знания и научимся строить графики этой функции в самом общем виде.
Давайте рассмотрим квадратный трехчлен $a*x^2+b*x+c$. $а, b, c$ называются коэффициентами. Они могут быть любыми числами, но $а≠0$. $a*x^2$ называется старшим членом, $а$ – старшим коэффициентом. Стоит заметить, что коэффициенты $b$ и $c$ могут быть равными нулю, то есть трехчлен будет состоять из двух членов, а третий равен нулю.

Давайте рассмотрим функцию $y=a*x^2+b*x+c$. Это функция называется "квадратичной", потому что старшая степень вторая, то есть квадрат. Коэффициенты такие же, как определено выше.

На прошлом уроке в последнем примере, мы разобрали построение графика схожей функции.
Давайте докажем, что любую такую квадратичную функцию можно свести к виду: $y=a(x+l)^2+m$.

График такой функции строится с использованием дополнительной системы координат. В большой математике, числа встречаются довольно редко. Практически любую задачу требуется доказать в самом общем случае. Сегодня мы разберем одно из таких доказательств. Ребята, вы сможете, увидеть всю силу математического аппарата, но так же и его сложность.

Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=$ $=a(x^2+\frac{b}{a}*x)+c=$ $=a(x^2+2\frac{b}{2a}*x+\frac{b^2}{4a})-\frac{b^2}{4a}+c=$
$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$.
Мы получили, то что хотели.
Любую квадратичную функцию можно представить в виде:
$y=a(x+l)^2+m$, где $l=\frac{b}{2a}$, $m=\frac{4ac-b^2}{4a}$.

Для построения графика $y=a(x+l)^2+m$ нужно построить график функции $y=ax^2$. Причем вершина параболы будет находиться в точке с координатами $(-l;m)$.
Итак, наша функция $y=a*x^2+b*x+c$ – парабола.
Осью параболы будет являться прямая $x=-\frac{b}{2a}$, причем координаты вершины параболы по оси абсцисс, как мы можем заметить, вычисляется формулой: $x_{в}=-\frac{b}{2a}$.
Для вычисления координаты вершины параболы по оси ординат, вы можете:

• воспользоваться формулой: $y_{в}=\frac{4ac-b^2}{4a}$,
• напрямую подставить в исходную функцию координату вершины по $х$: $y_{в}=ax_{в}^2+b*x_{в}+c$.

Как вычислять ординату вершины? Опять же выбор за вами, но обычно вторым способом посчитать будет проще.
Если требуется описать какие-то свойства или ответить на какие-то определенные вопросы, не всегда нужно строить график функции. Основные вопросы, на которые можно ответить без построения, рассмотрим в следующем примере.

Пример 1.
Без построения графика функции $y=4x^2-6x-3$ ответьте на следующие вопросы:
а) Укажите прямую, служащую осью параболы.
б) Найдите координаты вершины.
в) Куда смотрит парабола (вверх или вниз)?

Решение.
а) Осью параболы служит прямая $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2*4}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
б) Абсциссу вершины мы нашли выше $x_{в}=\frac{3}{4}$.
Ординату вершины найдем непосредственной подстановкой в исходную функцию:
$y_{в}=4*(\frac{3}{4})^2-6*\frac{3}{4}-3=$
$\frac{9}{4}-\frac{18}{4}-\frac{12}{4}=-\frac{21}{4}$.
в) График, требуемой функции, получится параллельным переносом графика $y=4x^2$. Его ветви смотрят вверх, а значит и ветви параболы исходной функции также будет смотреть вверх.
Вообще, если коэффициент $а>0$, то ветви смотрят вверх, если коэффициент $a<0$, то ветви смотрят вниз.

Пример 2.
Построить график функции: $y=2x^2+4x-6$.

Решение.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{4}=-1$.
$y_{в}=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Отметим координату вершины на оси координат. В этой точке, как будто в новой системе координат построим параболу $y=2x^2$.

Существует множество способов, упрощающих построение графиков параболы.

• Мы можем найти две симметричные точки, вычислить значение функции в этих точках, отметить их на координатной плоскости и соединить их с вершиной кривой, описывающей параболу.
  
• Мы можем построить ветвь параболы правее или левее вершины и потом ее отразить.
  
• Мы можем строить по точкам.

Пример 3.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=-x^2+6x+4$ на отрезке $[-1;6]$.

Решение.
Построим график данной функции, выделим требуемый промежуток и найдем самую нижнюю и самую высокую точки нашего графика.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3$.
$y_{в}=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
В точке с координатами $(3;13)$ построим параболу $y=-x^2$. Выделим требуемый промежуток. Самая нижняя точка имеет координату -3, самая высокая точка – координату 13.
$y_{наим}=-3$; $y_{наиб}=13$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Без построения графика функции $y=-3x^2+12x-4$ ответьте на следующие вопросы:
а) Укажите прямую, служащую осью параболы.
б) Найдите координаты вершины.
в) Куда смотрит парабола (вверх или вниз)?
2. Построить график функции: $y=2x^2-6x+2$.
3. Построить график функции: $y=-x^2+8x-4$.
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^2+4x-3$ на отрезке $[-5;2]$.