Рациональные уравнения с двумя неизвестными

Рациональное уравнение с двумя переменными – это уравнение вида $f(x;y)= g(x;y)$.
Где f и g – рациональные выражения (числа и любые операции вычитания, деления, умножения, сложения и возведения в степень), содержащие переменные х, y.

Посмотрим на примеры рациональных выражений:

$x^2+y^3=23$;

$2xy+y^2-5=0$;

$x-y=6$.

Рациональное уравнение всегда представимо в виде:
$u(x;y)=f(x;y)-g(x;y)$. Здесь $u(x;y)$ – рациональное выражение.
$u(x;y)=0$ – целое рациональное уравнение.

Решением уравнение: $u(x;y)= 0$. (x;y)– пара чисел, которые удовлетворяют данному уравнению.


Примеры:

а) (3;2) - решение уравнения: $x+y=5$. Подставим х= 3 и y= 2, получим $3+2=5$

б) (1;4) - решение уравнения: $2x^2+y^2=18$. Подставим х= 1 и y= 4, получим $2+16=18$

в) Решить уравнение: $(3x-6)^2+(2y-2)^2=0$.
Решение: Для любых x и y $(3x-6)^2≥0\; и \;(2y-2)^2≥0$. Это означает, что левая часть равенства всегда больше или равна нулю, и равна нулю только, когда оба выражения равны нулю. Значит решением уравнения будет пара чисел (2;1).
Ответ: (2;1).

г) Найти все целые решения уравнения: $x-y=12$.
Решение: Пусть x= z, тогда $y=z-12$, z – любое целое число. Тогда решением будет пара чисел (z;z-12), где z – целое число.

д) Найти целочисленные решения уравнения: $4х+7y=29$.
Решение: Выразим х через y: $x=\frac{29-7y}{4}=\frac{28+1-7y}{4}=7+\frac{1-7y}{4}=7-\frac{7y-1}{4}$.
x будет целым, если $7y-1$ делится на 4 без остатка. Давайте посмотрим возможные варианты нашего деления:
1) y – кратно 4. Тогда $y=4n$. $7y-1=7*4n-1=28n-1$ – не делится на 4, значит не подходит.

2) y – при делении на 4 остаток равен 1. $y=4n+1$. $7y-1=28n+7-1=28n+6$ – не делится на 4, значит не подходит.

3) y – при делении на 4 остаток равен 2. $y=4n+2$. $7y-1=28n+14-1=28n+13$ – не делится на 4, значит не подходит.

4) y – при делении на 4 остаток равен 3. $y=4n+3$. $7y-1=28n+21-1=28n+20$ – делится на 4, значит подходит.

Получили $y=4n+3$, найдем х.
$x=7-\frac{7y-1}{4}=7-\frac{28n+20}{4}=7-7n+5=2-7n$
Ответ: ($2-7n;4n+3$).

Два рациональных уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые решения.

Равносильными преобразованиями уравнения называют:

а) Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую, со сменой знака.
Пример : $-3x+5y=2x+7y$ равносильно $-3x-2x=7y-5y$

б) Умножение или деление обоих частей уравнений на число, которое не равно нулю.
Пример: $2х-0,5y=0,2xy$ равносильно $20х-5y=2xy$. (Умножили обе части уравнения на 10).

График уравнения с двумя переменными

Пусть дано уравнение u(x;y)= 0. Множество точек (x;y) на координатной плоскости, которые являются решением уравнения u(x;y)= 0, называются графиком функции.

Если уравнение u(x;y)= 0 можно преобразовать к виду y=f(x), то оно считается одновременно графиком уравнения.

Построить график уравнения:
а) $y+2x=2$,
b) $yx=5$.

Решение:
а) Графиком нашего уравнения будет прямая. Ребята, вы помните, как мы строили график линейной функции в 7 классе?
График нашей функции строится по двум точкам:
Построим график:
b) Преобразуем наше уравнение $yx=5$. Получим $y=5/x$ – график гиперболы. Давайте построим его:

Расстояние между двумя точками координатной плоскости

Определение. Расстояние между двумя точками А(x1;y1) и B(x2;y2) вычисляется по формуле: $AB=\sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}$

Пример: Найти расстояние между точками: А(10;34) и B(3;10).
Решение: $AB=\sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}=\sqrt{(3-10)^2+(10-34)^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25$.

Определение. Графиком уравнения: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ является окружность на координатной плоскости с центром в точке (а;b) и радиусом r.

Пример: Построить график уравнения: $x^2+y^2=4$.
Решение: Перепишем наше уравнение согласно определению: $(x-0)^2+(y-0)^2=4$. Это окружность с центром в точке (0;0) и радиусом равным 2. Нарисуем нашу окружность:

Пример: Построить график уравнения: $x^2+y^2-6y=0$.
Решение. Перепишем в виде: $x^2+y^2-6y+9-9=0$, $x^2+(y+3)^2=9$, $(x-0)^2+(y-3)^2=9$.
Это - окружность с центром в точке (0; 3) и радиусом равным 3. Изобразим нашу окружность:

Задачи на уравнения для самостоятельного решения

1. Найти все целые решения уравнения $2x+y=16$.
2. Найти целочисленные решения: $3х+5y=23$.
3. Построить график уравнения: а) $y-5x=-5$, b) $yx=6$, с) $(y+2x)^2=0$.
4. Найти расстояние между точками: А(5;25) и B(18;10).
5. Построить график уравнения: а) $x^2+y^2=36$, б) $x^2+8x+y^2+6y=0$.