Вид степенной функции с отрицательным показателем

Ребята, мы продолжаем изучать числовые функции. Темой сегодняшнего урока будут также степенные функции, но уже не с натуральным показателем, а целым отрицательным.
Степенная функция с целым отрицательным показателем имеет такой вид: $y=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$.
Одну из таких функций мы прекрасно знаем – это гипербола. Ребята, вы помните график гиперболы? Постройте его самостоятельно.

Давайте посмотрим одну из функций подходящих нам и определим для нее свойства. $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$.
Начнем исследование с четности. Стоит заметить, что свойство четности значительно упрощает построение графиков функции, т.к. мы можем построить половинку графика и потом просто ее отразить.
Область определения нашей функции – множество действительных чисел, кроме нуля, все мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя. Область определения – симметричное множество, переходим к вычислению значения функции от отрицательного аргумента.
$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$.
Наша функция четная. Значит, мы можем построить график при $х≥0$, а потом его отразить относительно оси ординат.
Ребята, в этот раз предлагаю вместе построить график функции, как делают это во "взрослой" математике. Сначала определим свойства нашей функции, а потом по ним построим график. Будем учитывать, что $x>0$.
1. Область определения D(y)=(0;+∞).
2. Функция убывающая. Проверим это. Пусть $x1<x2$. Подставим в функцию $\frac{1}{x_{1}^2}>\frac{1}{x_{2}^2}$. Поскольку, мы делим на большее число, то получается, что сама функция в большем числе будет меньше, что и значит убывание.
3. Функция ограничена снизу. Очевидно, что $\frac{1}{x^2}>0$, что и значит ограниченность снизу.
Ограниченности сверху нет, так как если взять значение аргумента очень маленьким, близким к нулю, то значение функции будет стремиться к плюс бесконечности.
4. Наибольшего и наименьшего значения нет. Наибольшего значения нет, так как функция не ограничена сверху. Как же быть с наименьшим значением, ведь функция ограничена снизу.

Что значит, что функция имеет наименьшее значение?

Существует такая точка х0, что для всех х из области определения $f(x)≥f(x0)$, но наша функция убывающая на всей области определения, тогда существует такое число $х1>x0$, но $f(x1)<f(x0)$. Получили противоречие, а значит наименьшего значения нет.

Графики степенной функций с отрицательными показателями

Построим график нашей функции по точкам.


График нашей функции, очень похож на график гиперболы.
Воспользуемся свойством четности и отразим график относительно оси ординат.

Напишем свойства нашей функции для всех значений х.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Четная функция.
3) Возрастает на (-∞;0], убывает на [0;+∞).
4) Ограничена снизу, неограниченна сверху.
5) Наименьшего и наибольшего значения нет.
6) Функция непрерывна на открытых лучах (-∞;0)U(0;+∞).
7) Е(у)=(0;+∞).
8) Выпукла вниз на открытых лучах (-∞;0)U(0;+∞).

Давайте теперь рассмотрим нашу функцию в общем случае.

Также, как и на прошлом уроке, рассмотрим случай с четным показателем и нечетным.
Функция вида $y=\frac{1}{x^{2n}}$. Функции такого вида похожи на ту функцию, что рассмотрели мы выше. Наша функция асимптотически приближается к осям координат. Чем больше степень, ты быстрее функция стремится вверх.
Функция вида $y=\frac{1}{x^{2n+1}}$ – нечетная функция. Похожа на нашу функцию, только отражение происходит относительно начала координат. Общий вид представлен ниже: Свойства функции:
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Нечетная функция.
3) Убывает на (-∞;0)U(0;+∞).
4) Не ограничена.
5) Наименьшего и наибольшего значения нет.
6) Функция непрерывна на открытых лучах (-∞;0)U(0;+∞).
7) Е(у)=(-∞;0)U(0;+∞).
8) Выпукла вверх на (-∞;0), выпукла вниз на (0;+∞).

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции $y=\frac{1}{x^3}$ на отрезке: [1;3].
Решение. Функция убывает на всей области определения, тогда своих наибольших и наименьших значений она достигает на концах отрезка. Наибольшее значение будет на левом конце отрезка $f(1)=1$, наименьшее на правом $f(3)=\frac{1}{27}$.
Ответ: Наибольшее значение равно 1, наименьшее 1/27.

Пример. Построить график функции $y=(x+2)^{-4}+1$.
Решение. График нашей функции получается из графика функции $y=x^{-4}$ переносом его на две единицы влево и одну единицу вверх.
Построим график:

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции $y=\frac{1}{x^4}$ на отрезке [0,5;2].
2. Построить график функции $y=(x-3)^{-5}+2$.