Числовые последовательности, примеры

Ребята, мы переходим к изучению новой темы – числовые последовательности. Из названия понятно, что мы будем рассматривать последовательность чисел, например последовательность чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9 – последовательность первых десяти чисел.

Числовые последовательности принято рассматривать в виде похожем на задание функций. $y=f(n)$, где n натуральное число.

Хорошо известную нам функцию $y=x^2$, мы можем записать в виде числовой последовательности $y=n^2$. Мы получим последовательность квадратов натуральных чисел: 1,4,9,16…
А нужны ли нам последовательности в реальной жизни?
Предположим у нас есть некоторый счет в банке, на который раз в месяц начисляют некоторую конкретную сумму денег. Так вот такое начисление можно описать в виде числовой последовательности: $y=а+n*b$, где а - начальная сумма на счете, b – сумма которую каждый месяц начисляют, n – натуральное число.
Если мы хотим подсчитать какая сумма будет находиться в банке через 12 месяцев: $y(12)=а+12*b$.
Чтобы сильно не путаться с функциями, математики приняли обозначение последовательностей вот в таком виде: вместо f(1) принято писать $y_{1}$, f(2) → $y_{2}$ ...
f(n)→ $y_{n}$.
Пусть дана функция $y=n^2$, тогда члены числовой последовательности запишутся как:
$y_{1}=1$,
$y_{2}=4$,
$y_{3}=9$,
…
$y_{n}=n^2$.

Определение числовой последовательности

Определение. Функцию $y=f(х)$, хϵN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью, обозначают как $y=f(n)$ или $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ … $y_{n}$. Для $y_{n}$, n – индекс, он задает порядковый номер элемента последовательности.
Если в последовательности встречаются многоточия, то так принято обозначать последующие члены. Для последовательности $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ … $y_{n}$, имеется ввиду что после $y_{3}$ идут $y_{4}$, $y_{5}$, $y_{6}$ и так далее. Возле члена $y_{n}$ подразумевается запись $y_{n-1}$, $y_{n}$, $y_{n+1}$.
Последовательности можно обозначать любыми буквами латинского алфавита.

Способы задания числовых последовательностей

1. Аналитический способ
Последовательность задана аналитически, если задана формула n-ого члена последовательности.
$y_{n}=f(n)$- аналитический способ задания последовательности.

Пример. Последовательность задана аналитически $y_{n}=(-1)^n\frac{1}{n^2}$.
Запишем последовательно несколько первых членов:
$y_{1}=(-1)^1\frac{1}{1^2}=-1$.
$y_{2}=(-1)^2\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$.
$y_{3}=(-1)^3\frac{1}{3^2}=-\frac{1}{9}$.
$y_{4}=(-1)^4\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$.
Зная начальную формулу, нетрудно найти любой член последовательности. Давайте найдем 10 член последовательности, в исходной формуле вместо n подставим 10:
$y_{10}=(-1)^{10}\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}$.

Пример. $y_{n}=C$.
Наша последовательность всегда принимает значение равное С, то есть имеет вид: С,С,С,С… Такую последовательность называют стационарной.
Зная формулу n-ого члена последовательности, нетрудно найти любой член последовательности. А вот если задана последовательность, но неизвестна формула для n-ого члена, чаще всего удается задать последовательность в аналитическом виде.

Пример. Дана последовательность 1,3,5,7,9…
Очевидно, что перед нами последовательность нечетных чисел. Тогда аналитическая форма будет в таком виде: $y_{n}=2n-1$.

Пример. Дана последовательность 5,15,20,25…
Номер члена последовательности умножается на пять, тогда в аналитическом виде имеем: $y_{n}=5n$.

Пример. 8,13,18,23…
Каждый член последовательности на 5 больше предыдущего. $8=5+3$, тогда получаем, что наша последовательность задана в виде: $y_{n}=5n-3$.

Пример. $\frac{2}{1};\frac{3}{4};\frac{4}{9};\frac{5}{16}$.
Аналитическая запись нашей последовательности: $y_{n}=\frac{n+1}{n^2}$.

2. Словесное задание последовательности
Чаще всего такой способ применяют, когда нет возможности задать последовательность аналитически (или это очень сложно) или последовательность состоит из небольшого количества членов.

Пример. 1,3,5,6,9,10,15.
Нашу последовательность задать в аналитической форме не представляется возможным, тогда просто произносят члены последовательности.

3. Рекуррентное задание последовательности
Данный способ позволяет вычислять члены последовательности, через предыдущие ее члены.
Используя данный способ, мы как бы всегда возвращаемся назад, вычисляя предыдущие члены. Почти всегда задана формула, позволяющая вычислять n член через предыдущие члены.

Пример. $y_{1}=2$, $y_{n}=y_{n-1}+2$, если n=2,3,4… Каждый новый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему двойки.
$y_{2}=y_{1}+2=2+2=4$,
$y_{3}=y_{2}+2=4+2=6$,
$y_{4}=y_{3}+2=6+2=8$.
Последовательность можно задать и аналитически: $y_{n}=2n$.

Пример. $y_{1}=2$, $y_{2}=4$, $y_{n}=y_{n-2}-y_{n-1}$, если n=3,4,5….
Каждый новый член последовательности получается из разности двух предыдущих членов.
$y_{3}=y_{2}-y_{1}=4-2=2$.
$y_{4}=y_{3}-y_{2}=2-4=-2$.
$y_{5}=y_{4}-y_{3}=-2-2=-4$.
$y_{6}=y_{5}-y_{4}=-4-(-2)=-2$.
$y_{7}=y_{6}-y_{5}=-2-(-4)=2$.
$y_{8}=y_{7}-y_{6}=2-(-2)=4$.
Наша последовательность представляет собой: 2;4;2;-2;-4;-2;2;4….

Монотонные последовательности

Последовательность называется возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего.

Последовательность называется убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего.

Убывающие и возрастающие последовательности называют монотонными последовательностями.

Пример. 1,3,5,7,9…. – возрастающая последовательность.
Пример. 1,-1,-3,-5… – убывающая последовательность.
Пример. 1,-1,3,-3,5,-5… – ни возрастающая, ни убывающая последовательность.
Пример. $y_{n}=2^n$. Члены нашей последовательности: 2,4,8,16…. Последовательность возрастает.
$y_{n}=a^n$, если $а>1$, то последовательность возрастает, если $0<а<1$, то последовательность убывает.

Задачи на числовые последовательности для самостоятельного решения

1. Задать последовательность в аналитическом виде: а) 4,8,12,16…; б) 1,-1,1,-1….
2. Последовательность задана в аналитической форме $y_{n}=2n+10$.
Найти 10,50,63 член последовательности.
3. Последовательность задана в аналитической форме $y_{n}=n^2+2$.
Найти 5,10,13 член последовательности.
4. Последовательность задана в рекурсивном виде $y_{1}=5$, $y_{n}=y_{n-1}-3$, если n=2,3,4…
Найти 5,11,12 член последовательности.
5. Последовательность задана в рекурсивном виде $y_{1}=3$, $y_{2}=8$, $y_{n}=2y_{n-2}+3y_{n-1}$,
если n=3,4,5…. Найти 3,4,9 член последовательности.