Линейные уравнения (повторение)

Ребята, мы переходим к изучению курса алгебры за 9 класс. Во время изучения нашего курса мы научимся решать много новых увлекательных задач.

Давайте немного повторим.
Вы помните, что такое линейное уравнение?
Мы называем уравнение вида $ax+b=0$ – линейным, здесь коэффициенты а и b из множества действительных чисел, то есть практически любое число. Кстати, а почему оно называется линейным? Правильно, если нарисуем график решения нашего уравнения, то получается линия.

Как мы решали наше уравнение? То, что с х, мы оставляли слева от знака равно, а без х переносили на право, не забывая менять знак, то есть получали уравнение вида: $ax=-b$.
После делили на коэффициент при х и получали решение уравнения: $x=-\frac{b}{a}$.
Ну что же, давайте перейдем к первой теме нашего курса.

Линейные неравенства

Мы с вами вспомнили линейные уравнения, теперь давайте введем понятие линейного неравенства. Думаю вы догадались, что определения не будут сильно отличаться.
Линейным неравенством с одной переменной называют неравенства вот такого вида: $ax+b>0$, где а и b значения из множества действительных чисел $(a≠0)$. Вообще можно записать 4 вида неравенств:
$ax+b>0\\ ax+b<0\\ ax+b≥0\\ ax+b≤0$

Значения переменной x, при котором наше неравенство становится верно – называется решением. Стоит заметить, что существует два вида решений: частное и общее. Общим решением называют все множество частных решений.

Давайте введем несколько правил при решении линейных неравенств:
Члены неравенства можно так же, как и в линейных уравнениях переносить из одно части в другую, не меняя знак неравенства.
Неравенство $3х<7$, равносильно неравенству $3х-7<0$.

Неравенство можно умножить и разделить на одно и тоже число большее нуля, не изменив при этом знак неравенства. Ребята, не забывайте что обязательно надо умножать или делить обе части неравенства!
Неравенство $3x<7$, равносильно неравенству $6x<14$ и $\frac{3}{2x}<\frac{7}{2}$.

Неравенство можно умножить или разделить на отрицательное число, не забыв при этом изменить знак неравенства на противоположный. Знак < изменится на >, ≤ на≥, и соответственно наоборот.
Умножим неравенство $3x-7<0$ на минус один, получим: $-3x+7>0$.

Если неравенство от переменой x разделить или умножить на выражение $p(x)$, зависящее от х, и которое положительно при любом х, не изменив знак неравенства, то получится неравенство, равносильное изначальному.

Если неравенство от переменой x разделить или умножить на выражение $p(x)$, зависящее от х, b которое отрицательно при любом х, поменяв знак неравенства, то получится неравенство, равносильное изначальному.

Примеры решения линейных неравенств.

1. Решить неравенство: $3x-6<0$.

Решение:
Способ решения аналогичен линейным уравнениям, перенесем -6 направо от знака неравенства $3x<6$.
Мы можем разделить наше неравенство на любое положительное число, не меняя знака. Давайте раздели на 3 и получим решение: $x<2$.
Ответ: $x<2$.

2. Решить неравенство: $-3x+6<0$.

Решение:
Выполним начальные действия: $-3x<-6$.
Разделим неравенство на -3, не забыв изменить знак: $x>2$.
Ответ: $x>2$.

3. Решить неравенство: $\frac{x}{4}+\frac{(3x-2)}{8}>x-\frac{1}{16}$.

Решение:
Умножим наше неравенство на 16, получаем: $4x+2(3x-2)>16x-1$.
Выполним необходимые действия: $4x+6x-4-16x>-1$.
$-6x>3$.
Разделим неравенство на -6, поменяв его знак: $x<-1/2$.
Ответ: $x<-1/2$

4. Решить неравенство: $|2x-2|<4$.

Решение:
Разделим неравенство на 2. Получим: $|x-1|<2$.
Решением нашего неравенство можно представить в виде отрезка координатной прямой. Середина отрезка будет находиться в точке $x=1$, а границы удалены на 2.
Нарисуем наш отрезок:
Открытый интервал $(-1;3)$ – решение нашего неравенства.

Задачи на линейные неравенства

1. Решить неравенство:
a) $2x+5<7$.
b) $-4x-9>11.$
c) $-5x+10<0$.

2. Решить неравенство: $\frac{2x}{9}+\frac{2x-4}{3}≤x-\frac{1}{18}$.

3. Решить неравенство:
$a) |3x-5|<3$.
b) $|5x|<25$.