Системы уравнений с двумя переменными

Ребята, сегодня мы с вами изучим тему: "Системы уравнений".

Определение. Если нужно найти пару чисел (x;y), таких, что они одновременно удовлетворяют рациональным уравнениям: $p(x;y)=0$ и $u(x;y)=0$, то принято говорить, что они образуют систему уравнений:
$\begin{cases}p(x;y)=0, \\u(x;y)=0\end{cases}$.

Решение системы – это пара чисел, которая удовлетворяет сразу двум нашим уравнениям.

Решить систему – это значит найти все ее решения, или убедиться, что общих решений у исходных уравнений нет.

Решение обычно записывают в круглых скобках, и представляет собой пару чисел. Например (2;5).
Для решения систем уравнений используют различные методы:

• метод подстановки,
• метод сложения,
• замены переменой,
• графический метод.

Все способы решения мы с вами изучим позже.

Переменные в системе можно обозначать любыми буквами, чаще всего обозначают латинскими буквами. Необходимо помнить, что первой записывают переменную, которая встречается раньше в алфавите.

Решим систему уравнений графическим методом:
$\begin{cases}x^2+y^2=25\\-x+5+y=0\end{cases}$.
Решение.
а) Построим два графика уравнений на одной координатной плоскости. Графиком первого уравнения будет окружность с центром в начале координат и радиусом равным пяти. Графиком второго уравнения будет прямая, проходящая через точки (0;5) и (-1;4).

Как мы видим, наши графики пересекаются в двух точках: (-5;0) и (0;-5), эти точки и будут решениями системы уравнений.

Решим систему уравнений графическим методом:
$\begin{cases}y=x^2\\yx=1\end{cases}$.
Решение.
Давайте также построим два графика. Оба графика мы с вами прекрасно знаем. Первый график – парабола, а второй гипербола.
Как видно, наши графики пересекаются в точке (1;0), это и будет ответом.

Графический метод является не самым лучшим методом решения систем уравнений. Не всегда можно построить график уравнения, и не всегда два графика пересекаются в хороших точках, то есть решение может получится дробным, тогда точность решения уже будет зависеть от масштаба.

Неравенства с двумя переменными. Графический метод решения

Ребята, теперь давайте перейдем к теме неравенства и их системы.

Решением рационального неравенства $u(x;y)>0$ называется пара чисел (x;y), такая, что неравенство становится верным числовым выражением.

Например, рассмотрим неравенство $2х+2y>0$, при $х=1$ и $y=1$ наше неравенство верно. Тогда пара чисел (1;1) являются решение нашего неравенства. Однако, наша пара чисел является частным решением, а как же найти общее решение?
Для решения неравенств с двумя переменными, также удобно строить графики. Давайте посмотрим, как можно решить наше неравенство с помощью графика: $2х+2y>0$.
Графиком уравнения $2х+2y=0$ будет прямая, проходящая через начало координат и точку (-1;-1). Давайте построим наш график.
Приведем исходное неравенство к виду $y>-x$. Очевидно, что решением неравенства будет вся область находящаяся выше нашей прямой.
После того, как мы построили график уравнения, для решения неравенства требуется определить область выше или ниже нашего графика. Из каждой области можно взять некоторую точку и проверить: верно ли неравенство в данной точке. Если верно, то выбираем область, относящуюся к данной точке.

Пример
Решить неравенство: $y>3x^2$.
Построим график функции $y=3x^2$.

Нам остается выбрать область выше или ниже графика.
Проверим точку (-1;-1). Эта точка расположена ниже нашего графика. $(-1)^2<3(-1)^2$.
Наше неравенство не выполняется.
Тогда очевидно, что решением будет область выше графика. Убедимся в этом, подставим точку (1;4).
$4>3$ – получим верное числовое выражение.

Система неравенств с двумя переменными

Если требуется найти два числа x и y, которые удовлетворяют сразу двум неравенствам, то говорят, что надо решить систему неравенств с двумя переменными:
$\begin{cases}p(x;y)>0\\u(x;y)>0\end{cases}$.
Решение системы – это пара чисел, которая удовлетворяет сразу двум нашим неравенствам.

Пример.
Решить систему неравенств: $\begin{cases}2x-y<3\\4x+2y>-2\end{cases}$.
Решение: Давайте решим это неравенство графическим методом, для этого построим два графика уравнений.
Построим график первого неравенства: $2x-y<3$.
$y>2x-3$ Нам необходимо выбрать область выше или ниже прямой, проходящей через точки (0;-3) и (1;-1). Проверим точку (2;2) которая выше нашей прямой. $2>1$ – значит, нам надо выбрать область выше прямой. Построим график второго неравенства: $4x+2y>-2$.
$y>-1-2x$ – осталось выбрать область выше или ниже прямой, проходящая через точки (0;-1) и(1;-3). Проверим точку (2;2). $2>-5$, а это значит, что следует выбрать область выше нашей прямой. Тогда решением неравенства, будет область пересечения решений.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить системы уравнений графическим методом:
а) $\begin{cases}x^2+y^2=9\\-x-3-y=0\end{cases}$.
б) $\begin{cases}y=4x^2\\yx=4\end{cases}$.

2. Решить неравенство графическим методом: $y<2(x+1)^2$.
3. Решить систему неравенств графическим методом:$\begin{cases}24x-6y<12\\3x+y>-4\end{cases}$.