Что будем изучать:
1. Введение в понятие производной.
2. Чуть-чуть истории.
3. Определение производной.
4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной.
5. Алгоритм нахождения производной функции.
6. Дифференцирование функции.
7. Примеры.

Введение в понятие производной

Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:

а) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет.
б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет.
в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии.
г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной.
Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной.

Чуть-чуть истории

Термин производная ввел великий математик – Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.
Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно.
Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная.

Определение производной

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0).


Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком:
На математическом языке: производная - предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
На обычном языке: производная – скорость изменения функции в точке x0.
Давайте посмотрим на графики трех функций:

Ребята, как вы думаете, какая из кривых растет быстрее?
Ответ, кажется, очевиден всем 1 кривая растет быстрее остальных. Мы смотрим, насколько круто идет вверх график функции. Другими словами — насколько быстро меняется ордината при изменении х. Одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная на графике функции. Геометрический смысл производной

Теперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:

Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Определение. Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

f' (x0)=tg(α)

Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
И так производная нашей функции равна:


И так производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной.

Алгоритм нахождения производной функции

Алгоритм нахождения производной функции y=f(x).
а) Зафиксировать значение x, найти f(x).
б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx).
в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x).
г) Составить соотношение: Δy/Δx
д) Вычислить


- это и есть производная нашей функции.

Дифференцирование функции

Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).
Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную.
И так запишем выше сказанное как определение:
Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует.

Примеры производной

Найти производную функции: y=3x
Решение:
Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3x
2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx

3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δx

4) Составим соотношение:


5)Найдем предел:

Ответ: f' (x)=3

Найти производную функции y=5x²

Решение:
Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

1)Для фиксированного значения x, значение функции y=5x²

2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=5(x+ Δx)^²=5(x²+2xΔx+Δx²)

3)Найдем приращение функции:

Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 5x²+10xΔx+5Δx²-5x²=10xΔx+5Δx²

4) Составим соотношение:


5)Найдем предел:


Ответ: f' (x)=10x

Найти производную функции y=2x²-x+1

Решение:

Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

1)Для фиксированного значения x, значение функции

y=2x²-x+1

2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=2(x+ Δx)²-(x+ Δx)+1= =2(x²+2xΔx+Δx² )-(x+ Δx)+1

Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= = 2x²+4xΔx+ 5Δx²-(x+ Δx)+1-2x²+x-1= =4xΔx+5Δx²-Δx
3) Составим соотношение:


5)Найдем предел:


Ответ: f' (x)=4x-1

Задачи для самостоятельного решения

Найти производную функции:
а) $y=5$;
б) $y=10x$;
в) $y=2x^2+x$;
г) $y=3x^3$.