Контрольные на темы: "Определение тригонометрических функций", "Свойства и графики тригонометрических функций", "Тригонометрические уравнения", "Тригонометрические функции сложения аргумента", "Правила и формулы отыскания производных", "Применение производной к исследованию функций" и др.

Контрольная работа №1 "Определение тригонометрических функций"

Вариант I

1. Вычислите функции:

a) $\sin( \frac{5\pi}{4})$	б) $tg( \frac{10\pi}{3})$
в) $\cos(- \frac{7\pi}{3})$	г) $ctg(- \frac{9\pi}{4})$

2. Решите следующие уравнения:

a) $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$

б) $\cos t = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Упростите тригонометрическое выражение:

$\frac{cos(-t)}{ctg(t)} + \sin(5\pi +t)$


4. Докажите тождество:

$\frac{(tg(t) + ctg(t))sin(t)}{tg(t)} = \sin^{-1}(t)$


5. Вычисли тригонометрическую функцию:

$\sqrt{75}sin(1140^{\circ})+4cos(780^{\circ}) - ctg^{2}(30^{\circ}) $


6. Известно, что sin(t)=$\frac{-2}{3},\frac{3\pi}{2}<t<2\pi$.

Вычислите: cos(t),tg(t),ctg(t).


7. Существует ли такое число t, что выполняется равенство

sin(t)=$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$


Вариант II

1. Вычислите функции:

a) $\sin(-\frac{13\pi}{4})$	б) $tg(-\frac{19\pi}{6})$
в) $\cos(\frac{13\pi}{6})$	г) $ctg(\frac{7\pi}{4})$

2. Решите следующие уравнения:

a) $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) cos t = 0

3. Упростите тригонометрическое выражение:

$\frac{sin(-t)}{tg(-t)} - \cos(-2\pi+t)$


4. Докажите тождество:

$\frac{(tg(t)+ctg(t))cos(t)}{ctg(t)} =\cos^{-1}(t)$


5. Вычисли тригонометрическую функцию:

$2\sin(750^o )-\sqrt{3} \cos(930^o )+\frac{tg^2(60^{\circ})}{2} $


6. Известно, что cos(t)=$\frac{2}{3},0<t<\frac{π}{2}$.

Вычислите: sin(t),tg(t),ctg(t).


7. Существует ли такое число t, что выполняется равенство

sin(t)=$\frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{15}}$


Ответы на контрольную работу №1

Контрольная работа №2 "Свойства и графики тригонометрических функций"

Вариант I

1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=sin(x), на отрезке [$\frac{\pi}{3};\frac{4\pi}{3}$].


2. Упростите тригонометрические функции: а) $\cos^2 (2π+t)+\sin^2(\frac{3\pi}{2}-t)$;

б) $\frac{sin(-t)tg(\frac{\pi}{2}+t)}{sin(\frac{\pi}{2}-t)}$.


3. Решите уравнение: $sin(t-\frac{\pi}{2})-cos(2π+t)=\sqrt{3}$.


4. Постройте график функции: $y=cos(x+\frac{\pi}{4})-2$.


5. Постройте график функции: $y=-3sin(2x)$.


6. Известно, что $f(x)=-4x^2+4x-4$. Докажите, что $f(sin(x))=-8+4cos^2 (x)+4sin(x)$.


Вариант II

1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=cos(x), на отрезке [$\frac{3\pi}{4};\frac{11\pi}{6}$].


2. Упростите тригонометрические функции: а) $\cos^2 (π-t)+\sin^2(t-\pi)$;

б) $\frac{cos(t)ctg(\frac{\pi}{2}+t)}{cos(\frac{\pi}{2}+t)}$.


3. Решите уравнение: $sin(\pi+t) + cos(\frac{\pi}{2})+t)=\sqrt{2}$.


4. Постройте график функции: $y=sin(x+\frac{\pi}{4})-3$.


5. Постройте график функции: $y=2cos(\frac{x}{3})$.


6. Известно, что $f(x)=-4x^2+3x-4$. Докажите, что $f(cos(x))=-4sin^2 (x)+3cos(x).$

Ответы на контрольную работу №2

Контрольная работа №3 "Тригонометрические уравнения"

Вариант I

1. Решите уравнения:


$ а) –2sin(x)+\sqrt{3}=0; б)cos(3x+\frac{\pi}{3})-1=0;$

$ в)-2cos^2 (x)-5sin(x)-1=0; с)\sin^2 (x)+4sin(x)cos(x)-5cos^2 (x)=0;$


2. Решите уравнение:

$ 2sin^2 (x)-8sin(x)cos(x)+7cos^2 (x)=1$


3. Найдите корни уравнения: sin(4x)=cos(4x), принадлежащие отрезку [-1 ; 3].

Вариант II

1. Решите уравнения:


$ а) 6sin(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}=0; б)sin(2x+\frac{\pi}{4})+1=0;$

$ в)2sin^2 (x)-6cos(x)+6=0; с)\cos^2 (x)-2sin(x)cos(x)-3sin^2 (x)=0;$


2. Решите уравнение:

$ 2sin^ (x)-5sin(x)cos(x)-8cos^2 (x)=-1$


3. Найдите корни уравнения: sin(3x)=$\sqrt{3}$cos(3x), принадлежащие отрезку [-2 ; 4].


Ответы на контрольную работу №3

Контрольная работа №4 "Тригонометрические функции сложения аргумента"

Вариант I

1. Найдите значения выражений:
а) $\sin(53°)cos(23°)-cos(53°)sin(23°)$;

б) $\cos(\frac{\pi}{8})cos(\frac{\pi}{24})-sin(\frac{\pi}{8})sin(\frac{\pi}{24})$.

2.Упростите выражения:
а) $sin(α+β)-sin(β)cos(α)$;

б) $cos(\frac{\pi}{4}-x)-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)$.


3. Докажите тождество:
$sin(α+β)+cos(α-β)=(sin(α)+cos(α))(cos(β)+sin(β))$.


4. Решите уравнение:
$sin(4x)cos(2x)+cos(4x)sin(2x)=0$.

5. Зная, что $sin(α)=\frac{5}{13},\frac{\pi}{2}<α<\pi$, найдите $tg(α-\frac{\pi}{4}).$

6. Известно, что $cos(\frac{pi}{3}-t)-cos(\frac{pi}{3}+t)=q$.
Найдите $cos(\frac{\pi}{3}-t)×cos(\frac{\pi}{3}+t)$.


Вариант II

1. Найдите значения выражений:
а) $\sin(83°)cos(52°)+cos(83°)sin(52°)$;

б) $\cos(\frac{3\pi}{2})cos(\frac{2\pi}{3})-sin(\frac{3\pi}{2})sin(\frac{2\pi}{3}).$

2.Упростите выражения:
а) $cos(z+y)-sin(z)cos(y)$;

б) $sin(x -\frac{\pi}{4})+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)$.


3. Докажите тождество:
$sin(α-β)+cos(α+β)=(sin(α)+cos(α))(cos(β)-sin(β))$.


4. Решите уравнение:
$cos(6x)cos(2x)-sin(6x)sin(2x)=0$.

5. Зная, что $cos(α)=-\frac{5}{13},\pi<α<\frac{3\pi}{2}$, найдите $tg(α+\frac{\pi}{4})$.


6. Известно, что $sin(\frac{\pi}{4}-t)-sin(\frac{\pi}{4}+t)=q$.
Найдите $sin(\frac{\pi}{4}-t)×sin(\frac{\pi}{4}+t)$.


Ответы на контрольную работу №4

Контрольная работа №5 "Формулы тригонометрии"

Вариант I

1. Упростите выражение: $\frac{2cos(t)}{(sin(2t)}-sin(t)$.

2.Решите уравнение: $cos(8x)=cos(4x)$.

3. Докажите тождество: $2\cos^2 (60^o-3α)-\frac{\sqrt{3}}{2} sin(6α)-sin^2 (3α)=\frac{1}{2}$.

4.Вычислите: $cos(85^o )+sin(125^o )-cos(25^o)$.

5.Решите уравнение: $-\sqrt{3} sin(x)-cos(x)=1$.

6. Решите уравнение: $\cos(8x)+cos(4x)+2sin^2 (x)=1$.


Вариант II

1. Упростите выражение: $\frac{2sin(t)}{(sin(2t)}-cos(t)$.

2.Решите уравнение: sin(9x)=sin(5x).

3. Докажите тождество: $4\cos^2 (45^o-4α)-2sin(8α)=2$.

4.Вычислите: $sin(40^o )+cos(170^o )+sin(20^o)$.

5.Решите уравнение: $-\sqrt{3} sin(x)+cos(x)=-1$.

6. Решите уравнение: $\sin(5x)-2cos^2(x)+sin(9x)=-1$.


Ответы на контрольную работу №5

Контрольная работа №6 "Правила и формулы отыскания производных"

Вариант I

1. Найдите производные функций: а) $y=2x^4$; б) $y=-1$; в) $y=-\frac{3}{2x}$; г) $y=7x-10$;
д) $y=3\sqrt{x}+\frac{sin(x)}{2}$.

2. Найдите производные функций: а) $y=\frac{x}{cos(x)}$; б) $y=\frac{x}{tg(x)}$; в) $y=(4x-6)^5$.

3. Вычислите $f'(\frac{π}{4})$, если $f(x)=3cos(x)+4x^2-2πx+5$.

4. Прямолинейное движение точки описывается законом $t^7-3t^3$. Найдите ее скорость в момент времени $t=2c$.

5. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство $f'(x)≤0$, если $f(x)=4,5x^2-12x^3$.

6. Найдите все значения x, при которых выполняет равенство $f'(x)=0$, если $f(x)=sin(2x)+\sqrt{2}x$, $xϵ[\pi;5\pi]$.


Вариант II

1. Найдите производные функций: а) $y=\frac{3x^4}{2}$; б) $y=-2$; в) $y=-\frac{x}{4}+5cos(x)$;
г) $y=-3x-4$; д) $y=\frac{10}{x}$.

2. Найдите производные функций: а) $y=\frac{x}{cos(x)}$; б) $y=\frac{x}{ctg(x)}$; в) $y=(6x+1)^8$.

3. Вычислите $f'(\frac{\pi}{4})$, если $f(x)=4sin(x)+0,5x^2+\frac{\pi}{4}x-3$.

4. Прямолинейное движение точки описывается законом $t^4-15t^2$. Найдите ее скорость в момент времени $t=4c$.

5. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство $f'(x)<0$, если $f(x)=x^2-5x^3$.

6. Найдите все значения x, при которых выполняет равенство $f'(x)=0$, если $f(x)=2cos(2x)-2\sqrt{2}x$, $xϵ[-\pi;3\pi]$.

Ответы на контрольную работу №6

Контрольная работа №7 "Применение производной к исследованию функций"

Вариант I

1. Дана функция $y=2x^3-6x^2+1$. Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки экстремума;
в) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;4].

2. Постройте график функции: $y=2x^3-6x^2+1$.

3.Составьте уравнение касательной к графику функции $y=\frac{12}{x}$ в точке $x=6$.

4.Площадь прямоугольного участка 196 м². При каких размерах участка длина окружающего забора будет наименьшей.

5. Постройте график функции: $y=\frac{2x^2-3}{2x^2+3}$.


Вариант II

1. Дана функция $y=2x^3+6x^2-1$. Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки экстремума;
в) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-3;1].

2. Постройте график функции: $y=2x^3+6x^2-1$.

3.Составьте уравнение касательной к графику функции $y=\frac{15}{x}$ в точке $x=3$.

4.Площадь прямоугольного треугольника 8 см². Найдите наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе треугольника..

5. Постройте график функции: $y=\frac{3x^2-6}{3x^2+6}$.

Ответы на контрольную работу №7




Ответы на контрольную работу №1 "Определение тригонометрических функций"

Вариант I
1. а) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; б) $\sqrt3$; в) 0,5: г) -1.
2. а) $\frac{π}{3}+2πn$; $\frac{2π}{3}+2πn$.
б) $±\frac{π}{4}+2πn$.
3. 0.
4. $\frac{(tg(t)+ctg(t))sin(t)}{tg(t)}$=$\frac{(\frac{sin(t)}{cos(t)}+\frac{cos(t)}{sin(t)} )sin(t)}{\frac{sin(t)}{cos(t)}}$=$\frac{\frac{1}{sin(t)cos(t)}sin(t)}{\frac{sin(t)}{cos(t)}}$=$\frac{1}{sin(t)}=sin^{-1}(t)$.
5. 6,5.
6. $cos(t)=\frac{\sqrt{5}}{3}$; $tg(t)=-\frac{2}{\sqrt{5}}$; $ctg(t)=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
7. Существует.


Вариант II
1. а) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; б) $-\frac{1}{\sqrt{3}}$; в) $\frac{\sqrt{3}}{2}$; г) -1.
2. а) $-\frac{π}{4}+2πn$ и $-\frac{3π}{4}+2πn$; б) $\frac{π}{2}+πn$.
3. 0.
4. $\frac{(tg(t)+ctg(t))cos(t)}{ctg(t)}$=$\frac{(\frac{sin(t)}{cos(t)}+\frac{cos(t)}{sin(t)})cos(t)}{\frac{cos(t)}{sin(t)}}$=$\frac{\frac{1}{sin(t)cos(t)}cos(t)}{\frac{cos(t)}{sin(t)}}$=$\frac{1}{cos(t)}=cos^{-1}(t)$.
5. 4.
6. $sin(t)=\frac{\sqrt{5}}{3}$; $tg(t)=\frac{\sqrt{5}}{2}$; $ctg(t)=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
7. Не существует.


Ответы на контрольную работу №2 "Свойства и графики тригонометрических функций"

Вариант I
1. Наибольшее значение: 1. Наименьшее значение: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. а) $2cos^2(t)$; б) 1.
3. $\frac{±5π}{6}+2πn$.
4. 5. 6. $f(sin(x))=-4sin^2(x)+4sin(x)-4=-4(1-cos^2(x))+4sin(x)-4=-4+4cos^2(x)+4sin(x)$.


Вариант II
1. Наименьшее: -1. Наибольшее: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. а) 1; б) 1.
3. $\frac{-π}{4}+2πn$ и $\frac{-3π}{4}+2πn$.
4. 5. 6. $f(cos(x))=4cos^2(x)+3cos(x)-4=4(1-sin^2(x))+3cos(x)-4=$
$=4-4sin^2(x)+3cos(x)-4=-4sin^2(x)+3cos(x)$.


Ответы на контрольную работу №3 "Тригонометрические уравнения"

Вариант I
1. а) $\frac{π}{3}+2πn$ и $\frac{2π}{3}+2πn$; б) $\frac{2πn}{3}-\frac{π}{9}$; в)$\frac{-π}{6}+2πn$ и $\frac{-5π}{6}+2πn$; г) $-arctg(5)+πn$ и $\frac{π}{4}+πn$.
2. $arctg(\frac{8±\sqrt{40}}{2})+πn$.
3. $\frac{-3π}{16}$; $\frac{π}{16}$; $\frac{5π}{16}$.


Вариант II
1. а) $(-1)^narcsin(\frac{\sqrt{3}}{12})+πn$; б) $\frac{-3π}{8}+2πn$; в) $2πn$; г) $arctg(\frac{1}{3})+πn$ и $\frac{-π}{4}+πn$.
2. $arctg(\frac{5±\sqrt{109}}{6})+πn$.
3. $\frac{-5π}{9}$; $\frac{-2π}{9}$; $\frac{π}{9}$; $\frac{4π}{9}$; $\frac{7π}{9}$; $\frac{10π}{9}$.


Ответы на контрольную работу №4 "Тригонометрические функции сложения аргумента"

Вариант I
1. а) 0,5; б) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. а) $sin(α)cos(β)$; б) $\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x)$.
3. $sin(α+β)+cos(α-β)=sin(α)cos(β)+sin(β)cos(α)+cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)=$
$=sin(α)(cos(β)+sin(β))+cos(α)(sin(β)+cos(β))=(sin(α)+cos(α))(cos(β)+sin(β))$.
4. $\frac{πn}{6}$.
5. $-2\frac{3}{7}$.
6. $\frac{1}{4}-\frac{q^2}{3}$.


Вариант II
1. а) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; б) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. а) $cos(y)(cos(z)-sin(z))-sin(z)sin(y)$; б) $\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x)$.
3. $sin(α-β)+cos(α+β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)+cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)=$
$=sin(α)(cos(β)-sin(β))-cos(α)(sin(β)-cos(β))=(sin(α)+cos(α))(cos(β)-sin(β))$.
4. $\frac{π}{16}+\frac{πn}{8}$.
5. $–2\frac{3}{7}$.
6. $\frac{q^2-1}{2}$.


Ответы на контрольную работу №5 "Формулы тригонометрии"

Вариант I
1. $cos(t)*ctg(t)$.
2. $\frac{πn}{6}$ и $\frac{πn}{2}$.
3. $2cos^2(60^o-3α)-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(6α)-sin^2(3α)=2(cos(60^o)cos(3α)+sin(60^o)sin(3α))^2-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(6α)-sin^2(3α)=$
$=2(\frac{1}{2}cos(3α)+\frac{\sqrt{3}}{2})sin(3α))^2-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(6α)-sin^2(3α)=$
$=2(\frac{1}{4}cos^2 (3α)+\frac{\sqrt{3}}{2}cos(3α)sin(3α)+\frac{3}{4}sin^2(3α))-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(6α)-sin^2(3α)=$
$=\frac{1}{2}cos^2(3α)+\sqrt{3}cos(3α)sin(3α)+\frac{3}{2}sin^2(3α)-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(3α)cos(3α)-sin^2(3α)=\frac{1}{2}(cos^2(3α)+sin^2(3α))=\frac{1}{2}$.
4. 0.
5. $\frac{-π}{3}+2πn$ и $-π+2πn$.
6. $\frac{π}{4}+\frac{πn}{2}$ и $±\frac{π}{18}+\frac{πn}{3}$.


Вариант II
1. $tg(t)*sin(t)$.
2. $\frac{πn}{2}$ и $\frac{π}{14}+\frac{πn}{7}$.
3. $4cos^2(45^o-4α)-2sin(8α)=4(cos(45^o)cos(4α)+sin(45^o)sin(4α))^2-2sin(8α)=$
$=4(\frac{1}{2}cos^2(4α)+2*\frac{1}{\sqrt{2}}*\frac{1}{\sqrt{2}}*cos(4α)sin(4α)+\frac{1}{2}sin^2 (4α)-4sin(4α)cos(4α)=$
$=4(\frac{1}{2}+cos(4α)sin(4α))-4sin(4α)cos(4α)=2$.
4. 0.
5. $\frac{–4π}{3}+2πn$.
6. $\frac{π}{42}+\frac{2πn}{7}$ и $\frac{5π}{42}+\frac{2πn}{7}$ и $\frac{π}{4}+\frac{πn}{2}$.


Ответы на контрольную работу №6 "Правила и формулы отыскания производных"

Вариант I
1. а) $8x^3$; б) 0; в) $\frac{3}{2x^2}$; г) 7; д) $\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{cos(x)}{2}$.
2. а) $\frac{cos(x)+x*sin(x)}{cos^2(x)}$; б) $\frac{sin(x)cos(x)-x}{sin^2(x)}$; в) $20(4x-6)^4$.
3. $-\frac{3}{\sqrt{2}}$.
4. 412.
5. $(-∞;0]∪[\frac{1}{4};+∞)$.
6. $\frac{11π}{8}$; $\frac{13π}{8}$; $\frac{19π}{8}$; $\frac{21π}{8}$; $\frac{27π}{8}$; $\frac{29π}{8}$; $\frac{35π}{8}$; $\frac{37π}{8}$.


Вариант II
1. а) $6x^3$; б) 0; в) $\frac{-1}{4}-5sin(x)$; г) -3; д) $\frac{-10}{x^2}$.
2. а) $\frac{cos(x)+x*sin(x)}{cos^2(x)}$; б) $\frac{cos(x)sin(x)+x}{cos^2(x)}$; в) $48(6x+1)^7$.
3. $2\sqrt{2}+\frac{π}{2}$.
4. 136.
5. $(-∞;0)∪(\frac{2}{15};+∞)$.
6. $-\frac{3π}{8}$; $-\frac{π}{8}$; $\frac{5π}{8}$; $\frac{7π}{8}$; $\frac{13π}{8}$; $\frac{15π}{8}$; $\frac{21π}{8}$; $\frac{23π}{8}$.


Ответы на контрольную работу №7 "Применение производной к исследованию функций"

Вариант I
1. а) возрастает - $(-∞;0)∪(2;+∞)$, убывает - (0;2); б) точка минимума: 2, точка максимума: 0; в) наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -7.
2. 3. $y=\frac{-x}{3}+4$.
4. 14.
5.

Вариант II
1. а) возрастает - $(-∞;-2)∪(0;+∞)$, убывает- (-2;0); б) точка минимума: 0, точка максимума: -2; в) наибольшее значение: 7, наименьшее значение: -1.
2. 3. $y=-\frac{5}{3}x+10$.
4. $2^{\frac{3}{4}}$.
5.