Разбор задания №3 на темы: "Свойства квадратного корня". "Наибольшее и наименьшее из чисел, содержащие квадратные корни". "Отличия рациональных и иррациональных чисел" и др.

Задание №3 потребует хороших знаний свойств квадратного корня и умения работать с ним. Умения выбирать наибольшее и наименьшее из чисел, содержащих квадратный корень. Также надо хорошо знать, чем отличаются рациональные и иррациональные числа.

Пример 1.
Укажите два соседних числа, между которыми заключено число $3\sqrt{7}$?
1) 3 и 4;
2) 7 и 8;
3) 8 и 9;
4) 63 и 64.

Решение.
Давайте возведем число $3\sqrt{7}$ в квадрат.
$(3\sqrt{7})^2=9*7=63$.
Теперь нам надо найти два числа рядом с 63, из которых извлекается корень квадратный. Одно из чисел должно быть 63, а другое – меньше.
Большее число равно 64. Меньшее число равно 49.
Мы получили: $49<63<64$.
Но знак неравенства не изменится, если извлечь корень квадратный из этих чисел, т.е.
$\sqrt{49}<\sqrt{63}<\sqrt{64}$.
$7<3\sqrt{7}<8$.
Получили, что требуемое число находится между числами 7 и 8.
Ответ: вариант 2.

Пример 2.
В каком случае числа $2\sqrt{3}$; $3\sqrt{2}$ и 4 расположены в порядке возрастания?
1) $2\sqrt{3}$; $3\sqrt{2}$; 4.
2) $2\sqrt{3}$; 4; $3\sqrt{2}$.
3) $3\sqrt{2}$; 4; $2\sqrt{3}$.
4) 4; $2\sqrt{3}$; $3\sqrt{2}$.

Решение.
Для решения данного задания нам надо возвести каждое число в квадрат и сравнивать уже квадраты.
$(2\sqrt{3})^2=4*3=12$.
$(3\sqrt{2})^2=9*2=18$.
$4^2=16$.
Получили $12<16<18$, что значит $2\sqrt{3}<4<3\sqrt{2}$. Также эти числа расположатся в порядке возрастания.
Ответ: вариант 2.

Пример 3.
Какое из данных чисел является иррациональным?
1) $\sqrt{1,6}$.
2) $\sqrt{169}$.
3) $(\sqrt{3})^6$.
4) $\sqrt{6\frac{1}{4}}$.

Решение.
Вспомним, что такое иррациональное число. Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Проверим каждое из чисел по отдельности.

1) $1,6$ — корень из данного числа, очевидно, не извлекается. Скорее всего, он представляет из себя бесконечную непериодическую десятичную дробь. Мы сделали предположение, что это число иррациональное. Для надежности следует проверить остальные числа.

2) $\sqrt{169}=13$ — рациональное число.

3) $(\sqrt{3})^6=(\sqrt{3})^2*(\sqrt{3})^2*(\sqrt{3})^2=3*3*3=27$ — рациональное число.

4) $\sqrt{6\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$ — рациональное число.

Ребята, делать какие-то предположения можно, но не стоит спешить сразу записывать ответ. Постарайтесь проверить все оставшиеся ответы, это займет некоторое время, но вы будете уверены в правильности своего выбора!
Ответ: вариант 1.

Пример 4.
Найдите значение выражения $\frac{(3\sqrt{7})^2}{42}$.
1) 0,5.
2) 1,5.
3) 10,5.
4) 3,5.

Решение.
В данном примере прямо подсчитаем требуемое значение. $\frac{(3\sqrt{7})^2)}{42}=\frac{3^2*(\sqrt{7})^2}{42}=\frac{9*7}{42}=\frac{63}{42}$
Ребята, вам останется разделить столбиком данных два числа.
$\frac{63}{42}=1,5$
Ответ: вариант 2.

Пример 5.
Укажите наибольшее из чисел:
1) $7,5$.
2) $3\sqrt{6}$.
3) $\sqrt{57}$.
4) $2\sqrt{14}$.

Решение.
В данном примере числа, которое не содержат корня следует возвести в квадрат. А в числах, содержащих квадратный корень, следует внести всё под корень квадратный.
После следует сравнить подкоренные числа, наибольшее из этих чисел и будет ответом.
1) $7,5=\sqrt{(7,5)^2}=\sqrt{56,25}$.
2) $3\sqrt{6}=\sqrt{9*6}=\sqrt{54}$.
3) $\sqrt{57}$
4) $2\sqrt{14}=\sqrt{4*14}=\sqrt{56}$.
Из представленных чисел наибольшее под номером 3.
Ответ: вариант 3.

Пример 6.
Сколько целых чисел расположено между числами $3\sqrt{5}$ и $-7\sqrt{3}$?

Решение.
Внесем числа под знак корня.
$3\sqrt{5}=\sqrt{9*5}=\sqrt{45}$.
$-7\sqrt{3}=-\sqrt{49*3}=-\sqrt{147}$.

$\sqrt{45}$ — число иррациональное, ближайшее меньшее число, из которого извлекается корень, равно $\sqrt{36}=6$. Значит, между нашими числами точно есть $1; 2; 3; 4; 5; 6$.
$-\sqrt{147}$ — число иррациональное, ближайшее число, из которого извлекается корень $-\sqrt{144}=-12$. Значит, между нашими числами точно есть $-1; -2; -3;…; -12$.
Также не стоит забывать, что 0 тоже целое число. Нам осталось подсчитать количество, подходящих нам чисел.
Ответ: 19.

Пример 7.
Значения, каких выражений являются иррациональными числами?
1) $\sqrt{27}{\sqrt{3}}$.
2) $11*(\sqrt{6})^2$.
3) $(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})$.
4) $\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Решение.
В данном примере следует воспользоваться различными свойствами корня квадратного. Проверим каждое выражение отдельно.
1) $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3})}=\sqrt{9}=3$ – не является иррациональным числом.
2) $\sqrt11*(\sqrt{6})^2=36\sqrt{11}$. – число иррациональное.
3) $(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{2*2}-\sqrt{3*3}=\sqrt{4}-\sqrt{9}=2-3=-1$ – не является иррациональным числом.
4) $\frac{2}{\sqrt{3}}$ – число иррациональное.
Ответ: 2 и 4.

Пример 8.
Значение каких выражений являются целыми числами?
1) $(\sqrt{48})^2$.
2) $(3-\sqrt{5})^2$.
3) $(4-\sqrt{5})(4+\sqrt{5})$.
4) $\sqrt{8}*\sqrt{10}$.

Решение.
Проведем проверку каждого выражения отдельно.
1) $(\sqrt{48})^2=48$ – целое число.
2) $(3-\sqrt{5})^2=9-6\sqrt{5}+5=14-6\sqrt{5}$ – не является целым числом.
3) $(4-\sqrt{5})(4+\sqrt{5})=16-5=9$ – целое число.
4) $\sqrt{8}*\sqrt{10}=\sqrt{8*10}=\sqrt{80}$ – иррациональное число.
Ответ: 1 и 3.

Пример 9.
Найдите значение выражения: $\frac{(\sqrt{12}-2\sqrt{2})*(\sqrt{8}+2\sqrt{3})}{\sqrt{6}*\sqrt{6}}$ и укажите, каким числом является ответ:
1) целое?
2) рациональное?
3) иррациональное?
4) натуральное?

Решение.
Проведем ряд преобразований и вычислений.

$\frac{(\sqrt{12}-2\sqrt{2})*(\sqrt{8}+2\sqrt{3})}{\sqrt{6}*\sqrt{6}}=\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{4*2})*(\sqrt{8}+\sqrt{4*3})}{6}=$ $=\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{8})*(\sqrt{8}+\sqrt{12})}{6}=\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{8})*(\sqrt{12}+\sqrt{8})}{6}=\frac{12-8}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
Получили дробь, а значит данное число рациональное.
Ответ: вариант 2.

Пример 10.
Среди данных чисел найдите те, которые могут быть представлены в виде конечной десятичной дроби.
1) $\frac{8}{5}$.
2) $\frac{2}{(\sqrt{6})^2}$.
3) $\frac{3}{(-2)^2}$.
4) $\frac{8}{18}$.

Решение.
Проверим каждое из чисел.
1) $\frac{8}{5}=1\frac{3}{5}=1,6$ – представимо в виде конечной десятичной дроби.
2) $\frac{2}{(\sqrt{6})^2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=0,3333…$ – бесконечная десятичная дробь.
3) $\frac{3}{(-2)^2}=\frac{3}{4}=0,75$ – представимо в виде конечной десятичной дроби.
4) $\frac{8}{18}=\frac{4}{9}=0,4444…$ – бесконечная десятичная дробь.
Ответ: 1 и 3.

Александр Шабалин