Формулы квадратных уравнений.

Ребята, на этом уроке мы научимся решать полные квадратные уравнения.
Рассмотрим уравнение: $a*x^2+b*x+c=0$, у которого все коэффициенты отличны от нуля.
Давайте выполним ряд преобразований:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac{b}{a}*x)+c=$ $=a(x^2+2\frac{b}{2a}*x+\frac{b^2}{4a})-\frac{b^2}{4a}+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a} =a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

Выражение $b^2-4ac$ называется дискриминантом квадратного уравнения. Коротко его принято обозначать, как $D=b^2-4ac$.

$a*x^2+b*x+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{D}{4a}$.
Выполним дальнейшие преобразования. Перенесем выражение с дискриминантом вправо: $a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{D}{4a}$.
Разделим на коэффициент $а$, стоящий перед скобкой в левой части уравнения $(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{D}{4a^2}$.

Любое квадратное уравнение можно свести к данному виду, мы это доказали нашими действиями. Но для чего мы привели его к такому виду? Ребята, посмотрите внимательно на правую часть. С помощью знака этой части мы будем определять количество корней уравнения.

Итак, если $D<0$, то квадратное уравнение не имеет корней. На самом деле, в левой части уравнения мы всегда имеем не отрицательное число, а справа отрицательное. Равенства между такими числами не возможно.
Если $D=0$, то квадратное уравнение имеет один корень $x=-\frac{b}{2a}$.
Проверим непосредственной подстановкой.
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{0}{4a^2}$.
$(x+\frac{b}{2a})^2=0$.
$x+\frac{b}{2a}=0$.
$x=-\frac{b}{2a}$.
Если $D>0$, то квадратное уравнение имеет два корня: $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ и $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$.
Давайте докажем, что мы правы.
Мы получили что: $(x+\frac{b}{2})^2=\frac{D}{4a^2}$.
Введем замену: $z=x+\frac{b}{2a}$, тогда $z^2=\frac{D}{4a^2}$.
Решением такого уравнения будет пара: $z=\sqrt{\frac{D}{4a^2}}$ или $z=-\sqrt{\frac{D}{4a^2}}$.
Извлечем корень из знаменателя: $z=\sqrt{\frac{D}{2a}}$ или $z=-\sqrt{\frac{D}{2a}}$.
Теперь введем обратную замену: $x+\frac{b}{2a}=\sqrt{\frac{D}{2a}}$ или $x+\frac{b}{2a}=- \frac{\sqrt{D}}{2a}$.
Перенесем коэффициент в правую часть: $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ и $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$.
Что и требовалось доказать.

Примеры решений квадратных уравнений.

Пример 1.
Решить уравнение: $2x^2+x+7=0$.

Решение.
В этом уравнении $a=2$, $b=1$, $c=7$.
Вычислим дискриминант: $D=1-4*2*7=1-56=-55<0$.
Дискриминант меньше нуля, а это значит, что корней данное уравнение не имеет.
Ответ: Нет корней.

Пример 2.
Решить уравнение: $4x^2+32x+64=0$.

Решение.
В этом уравнении $a=4$, $b=32$, $c=64$.
Вычислим дискриминант: $D=32^2-4*4*64=1024-1024=0$.
Дискриминант равен нулю, следовательно мы имеем один корень: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{32}{8}=-4$.
Ответ: $х=-4$.

Замечание. Данное уравнение можно было решить без вычисления дискриминанта: $4x^2+32x+64=4(x^2+8x+16)=4(x+4)^2$.
Откуда сразу получаем корень $х=-4$. Если получается один корень уравнения, то выделить полный квадрат получится всегда и довольно просто.

Пример 3.
Решить уравнение: $x^2-14x+48=0$.

Решение.
В этом уравнении $a=1$, $b=-14$, $c=48$.
Вычислим дискриминант: $D=14^2-4*48=196-192=4$.
Теперь используем формулу корней:
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{14+2}{2}=\frac{16}{2}=8$.
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{14-2}{2}=\frac{12}{2}=6$.
Ответ: $х=8$ или $х=6$.

Алгоритм решения квадратных уравнений: $a*x^2+b*x+c=0$.
1. Вычислить дискриминант $D$, по формуле $D=b^2-4ac$.
2. Если $D<0$, то уравнение не имеет корней.
3. Если $D=0$, то уравнение имеет один корень $x=-\frac{b}{2a}$.
4. Если $D>0$, то уравнение имеет два корня.
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ и $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$.
Вот мы и получили универсальный алгоритм решения квадратных уравнений.

Пример 4.
Решить уравнение: $-x^2+x+6=0$.

Решение.
Обычно не принято решать уравнения, когда коэффициент при старшей степени меньше нуля. Переходят к противоположным знакам, ответ при этом остается верным. $x^2-x-6=0$.
$D=1-4*(-6)=1+24=25>0$.
Имеем два корня: $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{1+5}{2}=3$ и $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{1-5}{2}=-2$.
Ответ: $х=3$ или $х=-2$.

Пример 5.
Решить уравнение: $\frac{2}{5}x^2-\frac{1}{10}x-\frac{7}{20}=0$.

Решение.
Работать с дробями бывает крайне неудобно и долго. Мы можем помножить каждый член нашего уравнения на любое одинаковое число, и ответ не изменится. В нашем примере удобнее умножить на 20.
$20(\frac{2}{5}x^2-\frac{1}{10x}-\frac{7}{20})=20*0$.
$8x^2-2x-7=0$.
Согласитесь, с таким уравнением гораздо приятнее работать!
$D=2^2-4*8*(-7)=4+224=228>0$.
Имеем два корня.
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{2+\sqrt{228}}{16}=\frac{2+\sqrt{4*57}}{16}=\frac{2+2\sqrt{57}}{16}=\frac{1+\sqrt{57}}{8}$.
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{2-\sqrt{228}}{16}=\frac{2-\sqrt{4*57}}{16}=\frac{2-2\sqrt{57}}{16}=\frac{1-\sqrt{57}}{8}$.
Ответ: $x_1=\frac{1+\sqrt{57}}{8}$ и $x_2=\frac{1-\sqrt{57}}{8}$.
Корни уравнения можно считать и сразу напрямую.
Обычно записывают следующим образом: $x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Если подкоренное выражение отрицательное, то корней нет, так как корень квадратный из отрицательного числа не вычисляется.
Если подкоренное выражение равно нулю, то один корень.
Если подкоренное выражение положительное, то два корня.

Пример 6.
Решить уравнение: $0,1x^2+0,07x+5,01=0$.

Решение.
C дробями работать неудобно, умножим уравнение на 100.
$10x^2+7x+501=0$.
$x_{1,2}=\frac{-7±\sqrt{49-4*10*501}}{2*10}$.
Вычислять значение подкоренного выражения не имеет смысла. Очевидно, что оно меньше нуля, что означает отсутствие корней.
Ответ: Нет корней.

Пример 7.
Решить уравнение: $px^2+(2p-2)x+p=0$.

Решение.
Такие уравнения называются уравнениями с параметром. В зависимости от значения числа $p$ меняются и значения корней уравнения. Нужно решить данное уравнение относительно всех возможных действительных $p$.
При $p=0$ наше уравнение сводится к линейному: $0*x^2+(2*0-2)x+0=0$.
$-2x=0$ и $x=0$.
Значит при $p=0$ получается $х=0$.
Рассмотрим случай $p≠0$.
Коэффициенты уравнения: $a=p$, $b=2p-2$, $c=p$.

Вычислим дискриминант: $D=(2p-2)^2-4*p*p=4p^2-8p+4-4p^2=-8p+4$.
В зависимости от знака дискриминанта у нас получаются разные решения.

Если $D<0$, то корней уравнение не имеет, найдем соответствующие $p$.
$-8p+4<0$.
$-8p<-4$.
$p>\frac{1}{2}$.
При $p>0,5$ уравнение не имеет решений.

Если $D<0$, то уравнение имеет один корень, найдем соответствующие $p$.
$-8p+4=0$.
$p=\frac{1}{2}$.
При $p=0,5$ мы имеем один корень уравнения, найдем его.
$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(2p-2)}{2p}=\frac{-(2*0,5-2)}{2*0,5}=\frac{-(1-2)}{1}=1$.
И как не трудно догадаться, при $p>0,5$ мы имеем два корня уравнения:

$x_{1,2}=\frac{-(2p-2)±\sqrt{-8p+4}}{2p}=\frac{2-2p±\sqrt{-8p+4}}{2p}$.
Ответ: При $p=0$, $x=0$.
При $p>0,5$ нет корней.
При $p=0,5$ $x=1$.
При $p<0,5$ $x_{1,2}=\frac{2-2p±\sqrt{-8p+4}}{2p}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решите уравнение: $3x^2+2x+8=0$.
2. Решите уравнение: $12x^2+36x+27=0$.
3. Решите уравнение: $-x^2-7x-12=0$.
4. Решите уравнение: $\frac{3}{7}x^2-\frac{5}{14}x-\frac{10}{21}=0$.
5. Решите уравнение: $(p-2)x^2+(4p+5)x+4p=0$.