Определение возрастающей и убывающей функции

Определять, возрастает или убывает функция, мы уже пробовали и раньше. Для этого мы двигались по графику слева направо. Если функция двигалась снизу вверх мы говорили, что функция возрастает. Если же наоборот – сверху вниз, то функция убывает. Такое определение, с математической точки зрения, не корректно. График – это всего лишь иллюстрация зависимости функции от переменой.

Поиск промежутков возрастания и убывания функции называется исследованием функции на монотонность. Давайте введем строгие определения возрастающей и убывающей функции.

Определение. Функцию $y=f(x)$ называют возрастающей на промежутке $Х$, если из неравенства $x_1<x_2$ следует, что $f(x_1)<f(x_2)$. Здесь точки $х_1$ и $х_2$ любые из промежутка $Х$.
Другими словами, если всякому большему значению переменой из промежутка $Х$ соответствует большее значение функции, то такая функция будет возрастающей.

Определение. Функцию $y=f(x)$ называют убывающей на промежутке $Х$, если из неравенства $x_1<x_2$ следует, что $f(x_1)>f(x_2)$. Здесь точки $х_1$ и $х_2$ любые из промежутка $Х$.
Другими словами, если всякому большему значению переменой из промежутка $Х$ соответствует меньшее значение функции, то такая функция будет убывающей.

Давайте рассмотрим все изученные ранее функции и определим их промежутки возрастания и убывания.
1. Линейная функция $y=kx+m$.
Если $k>0$, то функция $y=kx+m$ возрастает на всей области определения.
Если $k<0$, то функция $y=kx+m$ убывает на всей области определения.
Давайте докажем наше утверждения, используя определения выше.

Для случая $k>0$. Рассмотрим два значения аргумента, такие что $x_1<x_2$. Тогда, согласно свойствам неравенств, $k*x_1<k*x_2$ (умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется). Теперь воспользуемся другим свойством. Прибавим любое одинаковое число к левой и правой части, знак не меняется, то есть: $k*x_1+m<k*x_2+m$.
Это означает, что $f(x1)<f(x2)$, а значит функция возрастает.

Ребята, то, что функция $y=kx+m$ убывает на всей области определения для $k<0$, докажите самостоятельно!

Если функция возрастает на всей области определения, то такую функцию называют возрастающей. Если же она убывает на всей области определения, то – убывающей.


2. Функция $y=kx^2$.

Примеры функций

Рассмотрим конкретную функцию $y=x^2$.
Будем рассматривать ее на двух промежутках: $(-∞;0)$ и $(0;+∞)$.
Начнем с промежутка $(0;+∞)$.
Пусть $0<x_1<x_2$ – положительные числа. Тогда, возведя их в квадрат, получим неравенства того же смысла, то есть $0<x_1^2<x_2^2$. Но это означает, что $f(x_1)<f(x_2)$.
Значит на рассмотренном промежутке функция возрастает.

Теперь рассмотрим промежуток $(-∞;0)$.
Пусть $x_1<x_2<0$ – отрицательные числа. Перейдя к противоположному знаку, получим положительные числа и неравенства другого смысла $-x_1>-x_2>0$.
Мы можем опять возвести члены неравенства в квадрат, и получится неравенство того же смысла $0>x_1^2>x_2^2$. Это означает, что $f(x_1)>f(x_2)$, то есть меньшему значению переменой соответствует большее значение функции. Функция убывает на этом промежутке.

Из графика полученные свойства видны сразу. Но строгое доказательство гораздо ценней, чем иллюстрация. Ребята, самостоятельно исследуйте параболу на монотонность для $k<0$.

3. Функция $y=\frac{k}{x}$.
Опять же давайте рассмотрим самый просто случай, при $k=1$.

Рассмотрим два промежутка: $хϵ(-∞;0)$ и $xϵ (0;+∞)$.

Начнем с промежутка $(0;+∞)$.
Пусть $0<x_1<x_2$ – положительные числа. Когда мы рассматривали неравенства, мы уточнили, что при делении единицы на положительные числа получится неравенство противоположного смысла, то есть $\frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}$. Это означает,что $f(x_1)>f(x_2)$, то есть функция убывает на этом промежутке.

Рассмотрим промежуток $(-∞;0)$.
Пусть $x_1<x_2<0$ – отрицательные числа, перейдя к противоположному знаку получим положительные числа и неравенства другого смысла $-x_1>-x_2>0$. Тогда $\frac{1}{-x_1}<\frac{1}{-x_2}$ или $\frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}$ – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Гипербола на рассмотренном промежутке убывает.
Для любых $k>0$ можно доказать, что гипербола на рассмотренных промежутках будет иметь те же промежутки монотонности.

4. Функция $y=\sqrt{x}$.
В этот раз даже строить график не будем. Область определения функции корня: $D(y)=[0;+∞)$, то есть все числа из области определения положительные.
Рассмотрим $0<x_1<x_2$.
Давайте докажем, что $f(x_1)<f(x_2)$ или $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$.
Так как $х_1$ и $х_2$ – положительные числа, мы можем возводить их в квадрат, и неравенство будет того же смысла.
$(\sqrt{x_1})^2<(\sqrt{x_2})^2$ или $х_1<x_2$, что соответствует действительности. Таким образом, функция корня квадратного – возрастающая функция.

Пример.
Построить и прочитать график функции: $f(x)=\begin {cases} 3x^2, x<-1, \\ \sqrt{x+1}+3, -1≤x<3, \\ \frac{15}{x}, x≥3. \end {cases}$
Решение.
Будем строить графики на соответствующих промежутках. Заметим, что график функции $y=\sqrt{x+1}+3$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на одну единицу влево и три единицы вверх.

Осталось прочитать или найти свойства функции.
1. Область определения: множество действительных чисел.
2. $y>0$ при любых $x$. Равенства нулю нет.
3. Функция убывает на $(-∞;-1)$ и $[3;+∞)$.
Функция возрастает на $[-1;3)$.
4. Функция ограничена снизу, но неограничена сверху.
5. Наименьшего и наибольшего значения нет.
6. Функция непрерывна.
7. Область значений $(0;+∞)$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Исследовать функцию $y=kx^2$ на монотонность, при $k<0$.
2. Исследовать функцию $y=\frac{k}{x}$ на монотонность, при $k<0$.
3. Исследовать функцию $y=-\sqrt{x}$ на монотонность.
4. Построить и прочитать график функции: $f(x)=\begin {cases} -x^2+1, x<1, \\ -\sqrt{x-1}, 1≤x<5, \\ -\frac{10}{x}, x≥5. \end {cases}$