Алгебра – 8 класс. График функции f(x+l)+m
Презентация и урок на тему: "Как построить график функции f(x+l)+m"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать: Как построить график функции f(x+l)+m (PPTX)
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Комбинаторика и теория вероятностей Уравнения и неравенства
Ребята, на двух последних уроках мы разбирали, как правильно строить графики с помощью операции параллельного переноса. Сегодня мы объединим полученные знания и опишем единый алгоритм построения графиков с использованием операции параллельного переноса.
Давайте рассмотрим конкретный пример и опишем процесс построения графиков таких функций.
Пример 1.
Построить график функции $y=(x+3)^2-2$.
Решение.
Мы знаем, как получить график функции $y=f(x+l)$, используя график функции $y=f(x)$. Нам нужно сдвинуть график $y=f(x)$ влево или вправо, в зависимости от знака числа l. Мы можем заметить, что у функции, которую требуется построить, присутствует как раз такая операция.
Таким образом, первое, что нам требуется:
-
1) построить параболу $y=x^2$.
2) так как к $x$ прибавляется положительное число, то надо сдвинуть график параболы на 3 единицы влево.
3) поскольку от нашей функции отнимается число 2, следует воспользоваться приемом построения графиков функций $y=f(x)+m$.
И сместить график функции, полученный в пункте два, на две единицы вниз.
Строим наши графики.
+m_1.jpg)
Нам пришлось построить целых три графика, согласитесь, это неудобно и скучно. Можно ли упростить данную операцию?
Давайте внимательно посмотрим на графики, получившиеся в итоге. Что бросается в глаза? Были построены три совершенно одинаковых параболы, отличающиеся координатой вершины. Значит, нам надо обратить особое внимание на вершину: какая координата получилась по $х$ в итоге? Очевидно, что это координата равна $-3$. Как раз та величина, на которую сместили всю параболу влево, совпала с координатой вершины по $х$. А какая координата по $y$ получилась у вершины? Очевидно, что -2. Именно то число, на которое сместили график исходной параболы вниз.
Таким образом, мы построили график обычной параболы с вершиной, которая имеет координаты $(-3;-2)$. В таких случаях, для более быстрого и удобного способа построения графика принято переходить к вспомогательной системе координат.
Мы рисуем пунктирной линией две прямые $x=-3$ и $y=-2$. Это прямые численно совпадающие с координатами вершины (хотя с математической точки зрения это выражение не верно). Точка пересечения этих прямых – это начало координат вспомогательной системы. В этой точке мы начинаем строить график обычной параболы $y=x^2$.
+m_2.jpg)
Давайте разберем еще один пример построения графиков с помощью вспомогательной системы координат.
Пример 2.
Построить график функции $y=-2(x-2)^2+3$.
Решение.
Воспользуемся вспомогательной системой координат. Построим две прямые $x=2$ и $y=3$, точка их пересечения – начало координат вспомогательной системы.
В новой системе координат построим график функции $y=-2x^2$. Сделать это довольно просто. Мы можем построить табличку значений для данной функции и отмечать соответствующие точки в новой системе координат. Давайте так и поступим: $y=-2x^2$.
+m_3.jpg)
+m_4.jpg)
Мы получили два способа построения графиков функций $y=f(x+l)+m$.
Опишем оба алгоритма.
Алгоритм 1 построения графика функции $y=f(x+l)+m$.
1. Построить график функции $y=f(x)$.
2. Перенести построенный график на $l$ единиц влево, если $l>0$ или на $l$ единиц вправо, если $l<0$.
3. Перенести полученный во втором пункте график на $m$ единиц вверх, если $m>0$ или на $m$ единиц вниз, если $m<0$.
Алгоритм 2 построения графика функции $y=f(x+l)+m$.
1. Перейти к вспомогательной системе координат, построив две прямые $x=-l$ и $y=m$. Точка пересечения этих прямых – начало координат новой системы.
2. В новой вспомогательной системе построить график функции $y=f(x)$.
Каким алгоритмом пользоваться – ваш выбор. Второй – более быстрый метод, что может быть важным при решении многих задач. Выиграть время и решить больше задач всегда полезно!
Пример 3.
Построить график функции: $y=\frac{3}{x+2}-3$.
Решение.
Воспользуемся вторым алгоритмом.
Перейдем к новой системе координат, построив прямые $x=-2$ и $y=-3$. В новой системе построим график гиперболы $y=\frac{3}{x}$.
+m_5.jpg)
Пример 4.
Построить график функции: $y=x^2+6x+5$.
Решение.
Казалось бы, к теме урока данная функция не имеет отношения, но давайте выделим полный квадрат в данной функции.
$x^2+6x+5=x^2+6x+9-4=(x+3)^2-4$.
Таким образом, нам требуется построить график $y=(x+3)^2-4$.
Перейдем к вспомогательной системе координат, построив прямые $x=-3$ и $у=-4$. В этой системе построим график параболы $y=x^2$.
+m_6.jpg)
Задачи для самостоятельного решения
1. Построить график функции: $y=(x-4)^2+2$.
2. Построить график функции: $y=-\frac{4}{x-1}-2$.
3. Построить график функции: $y=\sqrt{x+2}-3$.