Ребята, сегодня мы научимся еще одному методу построения графиков функций!
Поступим как на прошлом уроке, построим в одной системе координат три параболы: $y=x^2$, $y=x^2+3$, $y=x^2-3$.
График первой функции хорошо известен, для остальных построим таблицы значений. $y=x^2+3$.
$y=x^2-3$.

$y=x^2$ – зеленый цвет, $y=x^2+3$ – синий, $y=x^2-3$ – красный.
Можно заметить, что графики практически одинаковые. Все они получаются из обычной параболы сдвигом вверх или вниз. Мы получили инструмент построения графиков практически идентичный тому, что был на прошлом уроке. Он облегчает построение многих других графиков функций.

Запишем общее правило:
Для построения графика функции $y=f(x)+m$, где $m$ – указанное положительное число, нужно график функции $y=f(x)$ сдвинуть на $m$ единиц вверх вдоль оси ординат.
Для построения графика функции $y=f(x)-m$, где $m$ – указанное положительное число, нужно график функции $y=f(x)$ сдвинуть на $m$ единиц вниз вдоль оси ординат.
Другими словами, если прибавляется некоторое число, то график сдвигают вверх, если отнимается, то график сдвигают вниз.

Пример 1.
Построить график функции: $y=-4x^2+2$.

Решение.
График нашей функции получается из графика $y=-4x^2$. Это парабола со сдвигом на две единицы вверх.

Ребята, обратите внимание на масштаб графика. Мы можем выбирать его сами, чтобы график смотрелся красиво!

Пример 2.
Построить график функции: $y=\frac{4}{x}+3$.

Решение.
График нашей функции получается из графика $y=\frac{4}{x}$. Это гипербола со сдвигом на три единицы вверх.
Используя наш инструмент, мы можем не только строить графики, но и решать множество других задач, связанных с графиками.

Пример 3.
Найти наименьшее и наибольшее значение функции $y=3x^2+1$ на отрезке $[-1;2]$.

Решение.
Самым наглядным способом решения этого примера будет построение соответствующего графика.
График нашей функции получается из графика $y=3x^2$. Это парабола со сдвигом на одну единицу вверх. Выделим красным цветом промежуток, на котором требуется найти наименьшее и наибольшее значения. Самая нижняя точка выделенной области будет соответствовать наименьшему значению, самая высокая точка – наибольшему значению.
Самая нижняя точка по оси ординат равна единице, а самая верхняя точка достигается в точке с ординатой 13. Они и будут наименьшим и наибольшим значениями. $y_{наим}=1$, $y_{наиб}=13$.

Пример 4.
Решите уравнение: $x^2+1=\frac{4}{x}-2$.

Решение.
Решим уравнение графически. Построим два графика функции и найдем их точки пересечения.
$y=x^2+1$ – парабола, смещенная на одну единицу вверх.
$y=\frac{4}{x}-2$ – гипербола, смещенная на две единицы вниз.

Точка пересечения имеет координату $(1;2)$. Нам нужна координата по $х$.
Ответ: $х=1$.

Пример 5.
Построить и прочитать график функции: $y=\begin {cases} (x-3)^2, 0<x≤3, \\ -x^2+9, x≤0. \end {cases}$

Решение.
График нашей функции строится по кусочкам на требуемых промежутках.
Построим график функции $y=(x-3)^2$. Это парабола, смещенная на 3 единицы вправо. Будем строить на отрезке $(0;3]$.
Так же построим график функции $y=-x^2+9$. Это парабола, смещенная верх на 9 единиц, при всех не положительных $х$.
Давайте опишем свойства графика:
1. Область определения: $(-∞;3]$.
2. $у=0$ при $х=3$ и $х=-3$. $у>0$ при $xϵ(-3;3)$. $y<0$ при $xϵ(-∞;-3)$.
3. Функция убывает на $[0;3]$. Функция возрастает на $(-∞;0]$.
4. Ограничена сверху, не ограничена снизу.
5. Наименьшего значения нет, наибольшее значение равно 9.
6. На всей области определения функция непрерывна.
7. Область значений: $(-∞;9]$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Построить график функции: $y=3x^2-1$.
2. Построить график функции: $y=-\frac{2}{x}+1$.
3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции $y=\frac{x^2}{2}+1$ на отрезке $[-4;-1]$.
4. Решите уравнение: $-x^2+4=-\frac{6}{x}$.
5. Построить и прочитать график функции: $y=\begin {cases} -(x+2)^2, x≤-1 \\ 3x^2-4, -1<x≤2. \end {cases}$