Ребята, с модулем числа мы встречались и раньше. Сегодня мы обобщим все наши знания, ну и конечно узнаем что-то новое.
Определение. Модулем неотрицательного действительного числа $x$ называют само это число: $|x|=x$. Модулем отрицательного действительного числа $x$ называют противоположное число: $|x|=-x$.

Давайте запишем строгое математическое определение: $|x|=\begin {cases} x, x≥0, \\ -x, x<0\end {cases}$.

Например:
$|8|=8$;
$|-8|=-(-8)=8$;
$|\sqrt{5}-3|=-(\sqrt{5}-3)=3-\sqrt{5}$ , (т.к. $\sqrt{5}-3<0)$.

Свойства:
1. $|a|>0$.
2. $|ab|=|a||b|$.
3. $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$.
4. $|a|^2=a^2$.
5. $|a|=|-a|$.

Геометрический смысл модуля действительного числа

Числовая прямая служит хорошим примером множества действительных чисел. Давайте отметим на числовой прямой две точки a и b и постараемся найти расстояние $ρ(a; b)$ между этими точками. Очевидно, что это расстояние равно $b-a$, если $b>a$.
Если $a>b$, то расстояние будет равно $a-b$.
Если $a=b$, то расстояние равно нулю, так как получается единая точка.
Все три случая мы можем описать единообразно: $ρ(a;b)=|a-b|$.

Пример.
Решите уравнение:
а) $|x-3|=6$;
б) $|x+5|=3$;
в) $|x|=2,8$;
г) $|x-\sqrt{3}|=2$.

Решение.
а) Надо найти на координатной прямой такие точки, которые удалены от точки 3 на расстояние равное 6.
$ρ(x;3)=6$.
Это точки – 9 и -3 (прибавили и отняли шестерку от тройки).
Ответ: $х=9$ и $х=-3$.

б) $|x+5|=3$, перепишем уравнение в виде $|x-(-5)|=3$.
$ρ(x;-5)=3$.
Найдем расстояние от точки -5, удаленное на 3. Такое расстояние, получается от двух точек: $х=2$ и $х=-8$.

Ответ: $х=2$ и $х=-8$.

в) $|x|=2,8$ можно представить в виде $|х-0|=2,8$ или $ρ(x;0)=2,8$.
Очевидно, что $х=-2,8$ или $х=2,8$.
Ответ: $х=-2,8$ и $х=2,8$.

г) $|x-√3|=2$ эквивалентно $ρ(x; \sqrt{3})=2$.
Очевидно, что $х=\sqrt{3}-2$ или $х=\sqrt{3}+2$.
Ответ: $x=\sqrt{3}-2$ или $x=\sqrt{3}+2$.

Пример.
Решить уравнения:
а) $|2x-8|=4$;
б) $|3-3x|=6$;
в) $|10x+5|=-2$.

Решение.
а) Преобразуем левую часть уравнения: $|2x-8|=|2(x-4)|=|2||x-4|=2|x-4|$.
Тогда уравнение можно переписать в виде: $|x-4|=2$.
Или $ρ(x;4)=2$.
Ответ: $х=6$ или $х=2$.

б) Опять же преобразуем левую часть: $|3-3x|=|-3(x-1)|=|-3||(x-1)|=3|x-1|$.
Тогда уравнение можно переписать в виде: $|x-1|=2$.
Или $ρ(x;1)=2$.
Ответ: $х=3$ или $х=-1$.

в)$|10x+5|=-2 $.
Модуль не может быть отрицательным числом, тогда, очевидно, что корней нет.
Ответ: нет корней.

График функции $y=|x|$.

Вычислить модуль мы можем из любого числа. Мы можем задать функцию $y=|x|$.
$y=|x|=\begin {cases} x, x≥0, \\ -x, x<0 \end {cases}$.

Такие графики строятся кусочками. Построим $y=x$ при $х≥0$ и $y=-x$ при $x<0$.

Тождество $\sqrt{a^2}=|a|$

Рассмотрим выражение $\sqrt{a^2}$. Если $а>0$, то мы знаем, что $\sqrt{a^2}=a$.
Но как быть, в случае если $a<0$? Ведь не может быть, что $\sqrt{a^2}=a$. В таком случае корень равен отрицательному числу.
Давайте рассмотрим $–а$.
1. Если $а<0$, то $–а>0$.
2. $(-a)^2=a^2$.
Давайте обобщим: $\sqrt{a^2}=\begin {cases} a, если a≥0, \\ -a, если a<0\end {cases}$.

По определению модуля: $|a|=\begin {cases} a, a≥0, \\ -a, a<0\end {cases}$.

Получаем, $\sqrt{a^2}=|a|$.

Пример.
Упростить выражение $(a-2)^2$, если:
а) $а-2≥0$.
б) $a-2<0$.

Решение.
Справедливо тождество: $\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|$.
а) Если $а-2≥0$, то $|a-2|=a-2$. Таким образом, получаем: $\sqrt{(a-2)^2}=a-2$.
б) Если $а-2<0$, то $|a-2|=-(a-2)=2-a$. Таким образом, получаем: $\sqrt{(a-2)^2}=2-a$.

Пример.
Вычислить: $\sqrt{(\sqrt{5}-3)^2 }+\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}$.

Решение.
Мы знаем, что:
$\sqrt{(\sqrt{5}-3)^2}=|\sqrt{5}-3|$.
$\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}=|\sqrt{5}-2|$.
Осталось раскрыть модули.
Рассмотрим первое выражение: $\sqrt{5}-3<\sqrt{9}-3=3-3=0$.
$\sqrt{5}-3<0$.
Рассмотрим второе выражение: $\sqrt{5}-2>\sqrt{4}-2=2-2=0$.
$\sqrt{5}-2>0$.
Используя определение, раскроем знаки модулей:
$|\sqrt{5}-3|=3-√5$.
$|\sqrt{5}-2|=√5-2$.
В итоге получили: $\sqrt{(\sqrt{5}-3)^2}+\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}=3-\sqrt{5}+\sqrt{5}-2=1$.
Ответ: 1.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решите уравнения:
а) $|x-10|=3$.
б) $|x+2|=1$.
в) $|x|=2,8$.
г) $|x-\sqrt{5}|=1$.
2. Решить уравнения:
а) $|3x-9|=33$.
б) $|8-4x|=16$.
в) $|x+7|=-3$.
3. Упростить выражение $\sqrt{(2a-6)^2}$, если:
а) $а-3≥0$.
б) $a-3<0$.
4. Вычислите: $\sqrt{(\sqrt{7}-4)^2 }+\sqrt{(\sqrt{7}-1)^2}$.