Квадратные уравнения, основные понятия

Решению графическим способом уравнений мы посвятили целое занятие, но в конце того урока столкнулись с уравнениями которые решать неудобно графически, ввиду того, что либо неудобно определить точное значение корней, либо вершина параболы находится слишком далеко от начала координат.
На данном занятии мы познакомимся с основными понятиями которые встречаются при решении квадратных уравнений и рассмотрим еще парочку примеров решений.
Почему уравнения называются квадратными? Ответ очень простой, потому что неизвестная переменная возводится самое большое во вторую степень, которую и принято называть возведением в квадрат. И так квадратным уравнением называется всякое уравнение вида: $a*x^2+b*x+c=0$.
здесь $a, b, c$ – числовые коэффициенты, то есть вместо этих чисел можно подставить совершенно любые действительные числа. Стоит обратить внимание, что все таки коэффициент $а≠0$, так как в противном случае у нас получится обычное линейное уравнение. Все эти коэффициенты имеют общепринятое название.
Коэффициент a – старший или первый коэффициент.
$b$ – второй коэффициент или при $х$.
$с$ – свободный член, так как не зависит от $х$.
Если коэффициент $a$ равен единице, то квадратное уравнение называется приведенным, если $a$ отлично от единицы, то уравнение соответственно называется не приведенным.
$x^2+3x-5=0$ – приведенное уравнение.
$3x^2-7x-8=0$ – не приведенное уравнение.
Квадратное уравнение называется полным, когда в нем присутствуют все три коэффициента a,b,c, то есть все коэффициенты отличны от нуля.
Квадратное уравнение называется неполным, когда в нем присутствуют не все коэффициенты a,b,c, как мы говорили выше, коэффициент a всегда отличен от нуля, а вот коэффициенты b и c могут равняться нулю. $x^2+3x-5=0$ – полное квадратное уравнение.
$x^2+3x=0$ – неполное квадратное уравнение.
$x^2-5=0$ – неполное квадратное уравнение.

Корень квадратного уравнения, основные понятия

Определение. Корнем квадратного уравнения $a*x^2+b*x+c=0$ называется такое значение переменной $x$ при котором данное уравнение обращается в нуль.
Другими словами корень квадратного уравнения – это решение данного уравнения.
Если x корень квадратного уравнения, то подставив его в это самое уравнение и выполнив все заданные арифметические операции должен получиться ноль.
Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни, или показать, что корней данное уравнение не имеет.
Научимся решать неполные квадратные уравнения.

Пример 1.
Решить квадратные уравнения:
а) $2x^2+8x=00$.
б) $-x^2-6x=00$.
в) $x^2-64=00$.
г) $-3x^2+10=00$.
д) $4x^2+16=00$.
е) $10x^2=00$.

Решение.
а) Такие уравнения решаются вынесением общего множителя за скобки: $2x(x+4)=0$.
Произведение двух чисел дает ноль, когда одно из них равно нулю, тогда получается два варианта: $2x=0$ или $x+4=00$.
Решаем каждое такое уравнение по отдельности, получаем два корня уравнения: $x=0$ или $x=-4$.
Ответ: $х=0$ или $х=-40$.

б) Так же вынесем общий множитель: $-x(x+6)=00$.
$-x=0$ или $x+6=00$.
$x=0$ или $x=-60$.
Ответ: $х=0$ или $х=-6$.

в) Перенесем свободный член в правую сторону $x^2=64$.
Нам осталось найти число, которое при возведении в квадрат дает 64. Очевидно, что такое число равно 8, но не стоит забывать что число -8 также при возведении в квадрат дает число 64.
Ответ: $х=8$ или $х=-80$.

г) $-3x^2+10=00$.
Перенесем свободный член на право $-3x^2=-100$.
Разделим на старший коэффициент и получим уравнение: $x^2=10/3=3 1/3$.
Решением уравнения вида: $x^2=a0$.
являются пара чисел: $x=±√a$, тогда решением нашего уравнения будут числа $x=±\sqrt{(3\frac{1}{3}}0$.
Ответ: $x=±\sqrt{(3\frac{1}{3}}0$.
д) $4x^2+16=00$.
Воспользуемся тем же порядком действий что и в предыдущем примере: $4x^2=-160$.
$x^2=-40$.
Какое бы действительное число мы не возвели в квадрат, получится всегда положительное число. В нашем примере число слева возводится в квадрат, а число справа отрицательное, такого быть не может. В таких случаях обычно говорят, что нет корней либо нет решений. (На самом деле корни существуют, числа возведенные в квадрат которые дают отрицательное число называются мнимыми или из множества комплексных чисел, в школьном курсе математики такие числа не изучаются) Ответ: Нет корней.
е) $10x^2=0$ или $x^2=0$ или $x=0$.
Ответ: $x=00$.
Давайте вспомним квадратные уравнения которые мы решали графически, там у нас получалось, что графики имели либо две точки пересечения, либо одну, либо вообще не пересекались. При решении неполных квадратных уравнений мы так же получали либо два решения, либо одно, либо не было решений. Таким образом, мы можем заметить, что может получаться либо два корня, либо один либо не одного.

Итак, обобщим методы решения неполных квадратных уравнений:
1. Уравнение вида $a*x^2=0$ – имеет один корень $x=00$.
2. При решении уравнения a*x^2+b*x=0 следует вынести общий множитель за скобки $x(ax+b)=0$ и решить по отдельности два уравнения $x=0$ и $ax+b=0$. Таким образом $х=0$ – будет всегда решением данного уравнения, второй корень будет равен $x=-\frac{b}{a}0$.
3. Уравнение вида $a*x^2+c=0$ преобразуют в два шага:
$a*x^2=-c0$.
$x^2=-c/a0$.
Далее следует посмотреть на знак выражения справа, если $-\frac{c}{a}<0$ – то уравнение корней не имеет.
Если $-\frac{c}{a}>0$ – то уравнение имеет два корня $x=±\sqrt{(-\frac{c}{a}}0$.
С неполными квадратными уравнениями разобрались, давайте вспомним уравнение, которое решали на прошлом уроке пятью графическими способами, и решим его не прибегая к помощи графиков. Пример. Решить уравнение $x^2+2x-8=00$.
Решение. Нам представлено полное квадратное уравнение. Способ 1. Разложим квадратный трехчлен на множители способом группировки $x^2+2x-8=x^2+4x-2x-8=x(x+4)-2(x+4)=(x+4)(x-2)0$.
Таким образом, нам надо решить уравнение: $(x+4)(x-2)=0$ Очевидно, что корни будут равны $x_1=-4$ и $x_2=20$.
Способ 2. Выделим полный квадрат: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-1-8=(x+1)^2-90$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $(x+1)^2-9=(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4)0$.
Получили такие же корни $x_1=-4$ и $x_2=20$.
Ответ: $x_1=-4$ и $x_2=20$.
7 способов решения полных квадратных уравнений, к сожалению не являются универсальными, существует самый надежный и точный способ решения квадратных уравнений, который мы рассмотрим на следующем уроке.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить квадратные уравнения:
а) $3x^2+9x=00$.
б) -$x^2+7x=00$.
в) $x^2-121=00$.
г) $-5x^2+12=00$.
д) $10x^2+100=00$.
е) $24x^2=00$.