Ребята, мы научились строить графики параболы и гиперболы. Теперь нам надо научиться решать различные задачки и уравнения с помощью этих графиков.

Пример 1.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=3x^2$ на отрезке:
а) $[0;1,5]$.
б) $[-1;2]$.
в) $[-2,5;2,5]$.

Решение.
Давайте построим график нашей функции и на каждом отрезке найдем наибольшее и наименьшее значение.
Наименьшее значение – это самая нижняя точка графика функции на этом отрезке, наибольшее значение – самая высокая точка графика на отрезке.
а) Отрезок $[0;1,5]$. Самая нижняя точка находится в ноле и принимает тоже значение ноль. Самая высокая точка достигается в точке 1,5. Значение функции в этой точке равно 7.
$y_{наим}=0$ при $х=0$, $y_{наиб}=7$ при $х=1,5$.

б) Рассмотрим отрезок $[-1;2]$. Удобно выделить требуемый отрезок на графике и выбрать нужные промежутки. По графику хорошо видно: $y_{наим}=0$ при $х=0$, $y_{наиб}=12$ при $х=2$.
в) $[-2,5;2,5]$.
$y_{наим}=0$ при $х=0$, $y_{наиб}=19$ при $х=±2,5$.

Пример 2.
Решить уравнение: $-2x^2=3x-2$.

Решение.
Рассмотрим две функции: $y=-2x^2$ и $y=3x-2$.
Графиком первой функции будет парабола, графиком второй функции – прямая. Мы хорошо помним, как строить параболу. График второй функции легко построить по двум точкам, соединив их прямой (отметим две точки $(0;-2)$ и $(1;1)$ и соединим их).
Чтобы найти решение уравнения графически, нужно найти точки пересечения двух графиков. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Графики наших функций пересекаются в двух точках с координатами: $(-2;-8)$ и $(0,5;-0,5)$. Решением уравнения будут координаты по $х$, то есть $х=-2$ и $х=0,5$.
Ответ: $х=-2$ и $х=0,5$.

Графический способ решения не является самым надежным, нужно крайне аккуратно строить графики и выбирать масштаб. Уверенность в правильности решения добавляет проверка полученных решений. Ребята, не поленитесь и проверьте полученные корни в предыдущем уравнении.

Пример 3.
Решить систему уравнений: $\begin {cases} y+x^2=0, \\ y-2x+3=0. \end {cases}$

Решение.
Преобразуем исходную систему к виду: $\begin {cases} y=-x^2, \\ y=2x-3. \end {cases}$
Теперь нам достаточно построить два графика функций и найти их точки пересечения.
Графики наших функций пересекаются в точках с координатами $(-3;-9)$ и $(1;-1)$.
Ответ: $х=-3$ и $х=1$.

Пример 4.
Построить и прочитать график функции: $y=\begin {cases} -2x^2, x<-1, \\ 3x^2, x≥-1. \end {cases}$

Решение.
График нашей функции строится кусочками, на одном и той же координатной плоскости нам надо построить две части (кусочка) графика. В нашем случае, при $х<-1$ и при $х≥-1$.

График функции мы построили, осталось его прочитать.
1. Область определения: $хϵ(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ при $x=0$, $y>0$ при $xϵ(-1;0)U(0;+∞)$, $y<0$ при $x<-1$.
3. У функции есть точка разрыва с абсциссой $х=-1$.
4. Функция возрастает на отрезках $(-∞;-1)U(0;+∞)$. Функция убывает на отрезке $(-1;0)$.
5. Функция не ограничена.
6. Наименьшего и наибольшего значения нет.
7. Область значений: $yϵ(-∞;-2)U(0;+∞)$.

Пример 5.
Решить уравнение: $-\frac{5}{x}=-x+4$.

Решение.
Решим графически. В этот раз нам предстоит построить график гиперболы и линейной функции и найти точки пересечения этих графиков. Графики наших функций пересекаются в двух точках с координатами $(-1;5)$ и $(5;-1)$. Для решения уравнения нам нужны абсциссы этих точек.
Ответ: $х=-1$ и $х=5$.

Ребята, не забывайте проверять корни уравнений! Лучше проверить и быть уверенным в правильности, чем полениться потратить минутку и остаться без правильного решения!

Пример 6.
Построить и прочитать график функции: $y=\begin {cases} x^2, x≤0, \\ \frac{3}{x}, x>0. \end {cases}$

Решение.
Построим график нашей функции кусочками на требуемых промежутках. Давайте прочитаем график нашей функции:
1. Область определения: $хϵ(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ при $x=0$, $y>0$ при $xϵ(-∞;0)U(0;+∞)$.
3. У функции есть точка разрыва с абсциссой $х=0$.
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция ограничена снизу.
6. Наименьшее значение достигается в точке с абсциссой равной нулю и равно нулю. Наибольшего значения нет.
7. Область значений: $yϵ(0;+∞)$.

Ребята, согласитесь все графики, полученные на нашем уроке, красивы, как с математической точки зрения, так и графически! Математика красива, но и очень требовательно к знаниям и умениям!

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=-2x^2$ на отрезке:
а) $[0;2]$.
б) $[-2;3]$.
в) $[-4;4]$.
2. Решить уравнение: $4x^2=4x+3$.
3. Решить систему уравнений: $\begin {cases} y-x^2=0, \\ y+3x-4=0. \end {cases}$
4. Построить и прочитать график функции: $\begin {cases} -3x^2,-2<x<1, \\ 4x^2,x≥1. \end {cases}$
5. Решить уравнение: $-\frac{8}{x}=x^2$.
6. Построить и прочитать график функции: $y=\begin {cases} 3x^2,x≤1, \\ -\frac{4}{x}, x>1. \end {cases}$.