Введение в теорему Виета.

Ребята, мы продолжаем изучать квадратные уравнения. Нам уже известно множество способов решений квадратных уравнений, начиная от графических методов, заканчивая методом решения, когда коэффициент $b$ – четное число. Но как оказалось, это еще не все. Существуют очень интересные соотношения между корнями и коэффициентами квадратных уравнений. Впервые эти соотношения были показаны Франсуа Виетом. В честь него и названа теорема, которую мы рассмотрим ниже.
Если вы решите большое количество квадратных уравнений, то в большинстве случаев, вам даже не понадобиться пользоваться формулами, которые были получены на прошлых занятиях. Вам будет достаточно представлять суммы и произведения двух чисел, соответствующие коэффициентам квадратного уравнения.
Теорема Виета.
Пусть нам дано квадратное уравнение в общем виде $ax^2+bx+c=0$ и $x_1$, $x_2$ – корни этого уравнения. Тогда справедливы следующие выражения:
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
$x_1*x_2=\frac{c}{a}$.
Все теоремы принято доказывать, давайте и мы докажем теорему Виета!
Доказательство.
Мы хорошо знаем формулы корней квадратного уравнения:
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ и $x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
Давайте выполним сложение корней, заменив подкоренное выражение обозначением дискриминанта.
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-b-b+\sqrt{D}-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$.
Мы доказали теорему для сложения. Перейдем к утверждению с умножением. С умножением дело обстоит чуть посложней, оно и понятно, так как операция умножения сложнее операции сложения. Умножение, в некотором роде, обобщает сложение.
$x_1*x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{(-b+\sqrt{D})(-b-\sqrt{D})}{4a^2}=\frac{(-b)^2-({\sqrt{D}})^2}{4a^2}$ (получается по формуле разности квадратов).
$\frac{(-b)^2-(\sqrt{D})^2}{4a^2}=\frac{b^2-D}{4a^2}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2} =\frac{c}{a}$.
Теорема доказана!

Так для уравнения $x^2-5x+6=0$ сумма корней $x_1+x_2=5$, а произведение $x_1*x_2=6$. В данном случае не трудно догадаться, что корни равны 2 и 3. Как видите уравнение можно решить и без формул корней.

В случае, когда коэффициент $a$ квадратного уравнения равен единице, то есть мы имеем дело с уравнением вида $x^2+bx+c=0$, то сумма корней данного уравнения равна минус коэффициент $b$, а произведение равно коэффициенту $c$.
Квадратное уравнение, как мы говорили раньше, в левой части представляет собой квадратный трехчлен. Так вот, с помощью теоремы Виета, научились раскладывать практически любой такой трехчлен на множители, что явилось несомненным толчком развития алгебры.

Теорема 1
Пусть $x_1$, $x_2$ корни квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$, тогда квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$ можно разложить следующим образом: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Доказательство.
Вынесем коэффициент $а$ за скобки трехчлена: $ax^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$.
По теореме Виета имеем: $\frac{b}{a}=-(x_1+x_2)$, $\frac{c}{a}=x_1*x_2$. Подставим эти выражения в квадратный трехчлен:
$a(x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a})=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1*x_2 )=a(x^2-x_1 x-x_2 x+x_1*x_2 )=$
$=a(x(x-x_1 )-x_2 (x-x_1 ))=a(x-x_1 )(x-x_2)$.
Теорема доказана.

В случае, когда дискриминант равен нулю, трехчлен раскладывается как:
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2$.
Что неудивительно, нам часто удавалось выделять полный квадрат в уравнениях.

Теорема 2
Если квадратный трехчлен раскладывается на множители, то у него есть корни.

Доказательство.
Пусть $ax^2+bx+c=(px+k)(fx+d)$. Вынесем из каждой скобки коэффициент при $x$.
$(px+k)(fx+d)=p(x+\frac{k}{p})f(x+\frac{d}{f})=p*f(x+\frac{k}{p})(x+\frac{d}{f})$.
Соответственно, числа $-\frac{k}{p}$ и $-\frac{d}{f}$ – корни уравнения.

Теорема 3
Если у квадратного трехчлена нет корней, то тогда его нельзя разложить на множители.

Доказательство.
Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что трехчлен раскладывается на множители. Тогда согласно теореме, доказанной выше, у него должны быть корни. Получили противоречие.

Пример 1.
Разложите на множители:
а) $2x^2-2x-24$.
б) $x^2+7x+12$.

Решение.
а) Не трудно заметить, что сразу можно вынести двойку за скобки.
$2x^2-2x-24=2(x^2-x-12)$.
Дальше нам требуется решить квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета.
$x_1+x_2=1$ и $x_1*x_2=-12$.

Не трудно догадаться, что $x_1=4$ и $x_2=-3$. Запишем формулу разложения.
$2x^2-2x-24=2(x^2-x-12)=2(x-4)(x+3)$.

б) Опять же воспользуемся теоремой Виета.
$x_1+x_2=-7$ и $x_1*x_2=12$.
Корни получились почти идентичными предыдущему примеру $x_1=-4$ и $x_2=-3$.
$x^2+7x+12=(x+4)(x+3)$.

Пример 2.
Сократите дробь: $\frac{6x^2-19x+13}{2x^2+7x-9}$.

Решение.
Найдем корни числителя и знаменателя.
$6x^2-19x+13=0$.
$x_{1,2}=\frac{19±\sqrt{{19}^2-4*6*13}}{12}=\frac{19±\sqrt{361-312}}{12}=\frac{19±\sqrt{49}}{12}=\frac{19±7}{12}$.
$x_1=1$ и $x_2=\frac{13}{6}$.
Тогда числитель раскладывается следующим образом:
$6x^2-19x+13=6(x-1)(x-\frac{13}{6})=(x-1)(6x-13)$.
Разложим знаменатель.
$2x^2+7x-9=0$.
$x_{1,2}=\frac{-7±\sqrt{7^2-4*2*(-9)}}{4}=\frac{-7±\sqrt{121}}{4}=\frac{-7±11}{4}=1; -\frac{9}{2}$.
$2x^2+7x-9=2(x-1)(x+\frac{9}{2})=(x-1)(2x+9)$.
Перепишем исходное выражение с учетом разложения.
$\frac{6x^2-19x+13}{2x^2+7x-9}=\frac{(x-1)(6x-13)}{(x-1)(2x+9)}=\frac{6x-13}{2x+9}$.

Пример 3.
Разложите на множители: $9x+4\sqrt{x}-5$.

Решение.
Воспользуемся методом замены переменой, пусть $t=\sqrt{x}$.
Тогда нам надо решить уравнение: $9t^2+4t-5=0$.
Корни уравнения равны: $t=-1$ и $t=\frac{5}{9}$.
$9t^2+4t-5=9(t+1)(t-\frac{5}{9})=(t+1)(9t-5)$.
Введем обратную замену: $(\sqrt{x}+1)(9\sqrt{x}-5)$.
Таким образом: $9x+4\sqrt{x}-5=(\sqrt{x}+1)(9\sqrt{x}-5)$.

Чем больше уравнений вы решите, тем быстрее будете находить корни. Многие уравнения решаются в уме, но никогда не стоит забывать делать самопроверку. Всегда полезно подставить полученные корни в исходное уравнение и проверить его.

Задачи для самостоятельного решения

1. Разложите на множители:
а) $3x^2-6x-45$.
б) $x^2-15x+56$.
2. Сократите дробь: $\frac{2x^2+x-21}{2x^2-5x-3}$.
3. Разложите на множители: $7x+13\sqrt{x}+6=0$.