Что такое алгебраическая дробь?

Алгебраическая дробь – это выражение вида: $\frac{P}{Q}$.

Где:
P – числитель алгебраической дроби.
Q – знаменатель алгебраической дроби.

Приведем примеры алгебраических дробей:

$\frac{a}{b}$, $\frac{12}{q-p}$, $\frac{7y-4}{y}$.

Основные свойства алгебраических дробей

Свойство 1.
И числитель и знаменатель дроби можно умножить на одно и то же число (или на одночлен, или на многочлен). В итоге, мы получим ту же самую дробь, но представленную в другом виде.

По другому это преобразование называется тождественным. Его используют, чтобы привести алгебраическое (и не только) выражение к более простому виду, и работа с этим выражением будет удобнее.

Пример.

$\frac{a}{4b^2}=\frac{a*3b}{4b^2*3b}=\frac{3ab}{12b^3}$.

И числитель и знаменатель мы умножили на одночлен $3b$. В итоге у нас получилась дробь, тождественная исходной.

Пример.

$\frac{a^2}{6b^3}=\frac{a^2*2}{6b^3*2}=\frac{2a^2}{12b^3}$.

При необходимости алгебраическую дробь можно умножить на простое число. В этом примере и числитель и знаменатель мы умножили на число 2. И опять мы получили дробь, тождественную исходной.

Свойство 2.
И числитель, и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число (или одночлен, или многочлен). В итоге мы получим ту же самую дробь, но представленную в другом виде.

Как и в случае с умножением, к такому тождественному преобразованию прибегают, чтобы представить дробь в более простом виде и облегчить работу с ней.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Если у алгебраических дробей одинаковые знаменатели, их складывают, как обыкновенные дроби (складывают только числители, а знаменатель остается общим).

Общее правило:

$\frac{a}{d}+\frac{b}{d}-\frac{c}{d}=\frac{a+b-c}{d}$.

Пример.

Упростите выражение:

$\frac{2a^2+5}{a^2-ab}+\frac{2ab+b}{a^2-ab}-\frac{b+5}{a^2-ab}$.

Решение.

Используем правило сложения дробей о котором рассказано выше, то есть сложим числители, а знаменатель запишем общий.

$\frac{2a^2+5}{a^2-ab}+\frac{2ab+b}{a^2-ab}-\frac{b+5}{a^2-ab}=\frac{(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)}{a^2-ab}$.

Поработаем с числителем.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.

В результате получаем дробь:

$\frac{2a^2+2ab}{a^2-ab}$.

Ребята, перед тем как закончить решение проверьте: нельзя ли ещё упростить полученный результат. Ведь в этом заключается весь смысл преобразования – упростить выражение.
Если посмотреть внимательно, то можно понять, что полученную дробь можно еще упростить.

$\frac{2a^2+2ab}{a^2-ab}=\frac{2a(a+b)}{a(a-b)}=\frac{2(a+b)}{a-b}=\frac{2a+2b}{a-b}$.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

При сложении алгебраических дробей с разными знаменателями надо действовать так же, как при работе с обыкновенными дробями. Сперва нужно привести дробь к общему знаменателю, а за тем сложить или вычесть числители дробей, в соответствии с общим правилом, которое мы рассмотрели.

Пример.
Вычислите:

$\frac{a}{4b^2}+\frac{a^2}{6b^3}$.

Решение.
Приведем эти дроби к общему знаменателю. В данного примера общим знаменателем является одночлен $12b^3$.
Тогда.

$\frac{a}{4b^2}+\frac{a^2}{6b^3}=\frac{3ab}{12b^3}+\frac{2a^2}{12b^3}=
\frac{3ab+2a^2}{12b^3}$.

Самое сложное – это нахождение общего знаменателя для дробей. В некоторых случаях – это не простая задача.
При нахождении общего знаменателя можно придерживаться правил:
1. Если оба знаменателя являются одночленами без скобок, то лучше в начале подобрать общий знаменатель для числа, а затем – для переменной. В нашем примере число – 12, а переменная – $b^3$.
2. Если знаменатель представляет из себя более сложное выражение, например, $х + 1$, $x +y$ и тому подобное, то лучше подобрать знаменатель в виде произведения знаменателей, например, $(х + у)( х - у)$. Такой знаменатель делится и на $х + у$, и на $х - у$.

Запомните!
Для двух алгебраических дробей общих знаменателей можно подобрать сколько угодно. Но для упрощения расчетов, нужно выбрать самый простой из возможных.