МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ ЭЛ № ФС 77 - 63677
зарегистрировано Роскомнадзором

Алгебра – 10 класс. Производная

Задачи с решением и ответами к учебнику Мордковича А.Г. на тему: "Применение производной к исследованию функций"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.



Скачать: Применение производной в исследовании функции (PDF)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2017. Математика (базовый уровень)
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2017. Математика (профильный уровень)




1. Дана функция $y=1,25x^4-2,5x^2+1$. Найдите:
а) Промежутки возрастания и убывания функции.
б) Точки экстремума.
в) Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-3;2].


2. Постройте график функции:y=$y=1,25x^4-2,5x^2+1$.

3.Составьте уравнение касательной к графику функции $y=8\sqrt{x}$ в точке $x=2$.

4.Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием составляют в сумме 64 см. Чему равен наибольший объем данного параллелепипеда?

5. Постройте график функции: $y=\frac{-5x}{x^2+25}$.

6. Дана функция $y=3x^3-9x^2-2$. Найдите:
а) Промежутки возрастания и убывания функции.
б) Точки экстремума.
в) Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;3].


7. Постройте график функции: $y=3x^3-9x^2-2$.

8. Составьте уравнение касательной к графику функции $y=4\sqrt{x}$ в точке $x=6$.

9.Площадь прямоугольного участка составляет $256 м^2$. При каких размерах участка длина окружающего забора будет наименьшей?

10. Постройте график функции:$y=\frac{2-4x^2}{4x^2+2}$.

Ответы на задачи.



Ответы на задачи.

1.
а) Y убывает на $(-∞; -1)∪(0; 1)$; Y возрастает на $(-1; 0)∪(1; +∞)$.
Решение.
а) Для поиска промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти производную данной функции. $y'=5x^3-5x$.
Далее необходимо найти точки, в которых производная равна нулю либо не существует. $5x^3-5x=0$.
$x=0;±1$.
На числовой прямой отмечаем полученные значения.
Применение производной в исследовании функции
В точках, в которых производная положительная, сама функция возрастает, в точках, в которых производная отрицательная, функция убывает. Схематично, удобно изображать, как представлено на рисунке.
б) $x_{min}=±1$; $x_{max}=0$.
Рекомендации к решению. Для поиска точек экстремума, необходимо воспользоваться приведенной схемой. Применение производной в исследовании функции
в) $y_{наим.}=-0,25$; $y_{наиб.}=79,75$.
Рекомендации к решению. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-3;2]. Для получения точного ответа, рекомендуется проверить значение функции в точках на концах данного промежутка, а также в точках максимума и минимума функции.

2.
Рекомендации к решению. Исследовать функцию (найти все ее свойства), схематично построить график функции, опираясь на свойства.
Применение производной в исследовании функции

3. $y=\frac{4x+8}{\sqrt{2}}$.
Решение.
Для составления уравнения касательной необходимо воспользоваться формулой: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.
Найдем производную: $f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}$.
$f'(x_0)=f'(2)=\frac{4}{\sqrt{2}}$.
Составим уравнение касательной.
$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=8\sqrt{2}+\frac{4}{\sqrt{2}}(x-2)=\frac{4x+8}{\sqrt{2}}$.

4. $V_(max)=9709\frac{1}{27}$.
Решение.
Данная задача сводится к поиску экстремума функции. Пусть х – длина прямоугольного параллелепипеда, х – ширина прямоугольного параллелепипеда, 64-2х – высота прямоугольного параллелепипеда.
$V=x*x*(64-2x)=64x^2-2x^3$.
$V'=128-6x^2=x(128-6x)$.
$x=21\frac{1}{3}$ – точка максимума.
$V_{max}=\frac{64}{3}*\frac{64}{3}(64-\frac{128}{3})=\frac{262144}{27}=9709\frac{1}{27}$.

5.
Рекомендации к решению. Исследовать функцию (найти все ее свойства), схематично построить график функции опираясь на свойства. Применение производной в исследовании функции

6.
а) Y убывает на $(0; 2)$; Y возрастает на $(-∞; 0)∪(2; +∞)$.
б) $x_{min}=2$; $x_{max}=0$.

в) $y_{наим.}=-15$; $y_{наиб.}=0$.

7.
Применение производной в исследовании функции

8. $y=\frac{2x-12}{\sqrt{6}}$.

9. 16.

10. Применение производной в исследовании функции

Add comment

Security code
Refresh

задачи

тесты и уроки