Ребята, мы предлагаем Вам решение некоторых типовых задач для 10 класса на тему: "Тригонометрические формулы". Опираясь на приведенные решения, попробуйте решить аналогичные задачи под номерами 7–12 и сверьте с правильными ответами.

1. Упростите выражение: $\frac{cos(4t)}{cos(2t)-sin(2t)}-cos(2t)$.

Решение.
$\frac{cos(4t)}{cos(2t)-sin(2t)}-cos(2t)= \frac{cos^2(2t)-sin^2(2t)}{cos(2t)-sin(2t)} - cos(2t)=$ $=\frac{(cos^(2t)-sin(2t))(cos(2t)+sin(2t))}{cos(2t)-sin(2t)} - cos(2t)=cos(2t)+ sin(2t)-cos(2t)=sin(2t)$.
Ответ: $sin(2t)$.

2. Решите уравнение: $sin(11x)=sin(3x)$.

Решение.
$sin(11x)-sin(3x)=0$.
$2sin(\frac{11x-3x}{2})*cos(\frac{11x+3x}{2})=0$.
$sin(4x)=0$;   $cos(7x)=0$.
$4x=πn$;   $7x=\frac{π}{2}+πn$.
$x=\frac{πn}{4}$;   $x=\frac{π}{14}+\frac{πn}{7}$.
Ответ: $x=\frac{πn}{4}$; $x=\frac{π}{14}+\frac{πn}{7}$; n∈Z.

3. Докажите тождество: $4sin^2 (45°+2α)-2sin(4α)=2$.

Решение.
$4(sin(45°)cos(2α)+cos(45°)sin(2α))^2-2sin(4α)=$ $4(\frac{\sqrt{2}}{2}cos(2α)+\frac{\sqrt{2}}{2}sin(2α))^2 -2sin(4α)=$
$=4\frac{2}{4}(cos(2α)+sin(2α))^2-2sin(4α)=$ $2(cos^2(2α)+sin^2(2α)+2sin(2α)cos(2a))-2sin(4a)=$
$=2+4sin(2α)cos(2α)-4sin(2α)cos(2α)=2$.

4. Вычислите: $cos(93°)+sin(154°)-cos(33°)$.

Решение.
$cos(93°)+sin(154°)-cos(33°)=-2sin(\frac{93°+33°}{2})sin(\frac{93°-33°}{2})+sin(154°)=$
$=-2sin(63°)*\frac{1}{2}+sin(154°)=sin(154°)-sin(63°)=2sin(40,5°)cos(108,5°)$.
Ответ: $2sin(40,5°)cos(108,5°)$.

5. Решите уравнение: $-sin(x)-\sqrt{3}cos(x)=1$.

Решение.
$sin(x)*\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}cos(x)=-\frac{1}{2}$.
$sin(x+\frac{π}{3})=-\frac{1}{2}$.
$x+\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}+2πn$;   $x+\frac{π}{3}=-\frac{5π}{6}+2πn$.
$x=-\frac{π}{2}+2πn$;   $x=-\frac{7π}{6}+2πn$.
Ответ: $x=-\frac{π}{2}+2πn$; $x=-\frac{7π}{6}+2πn$; n∈Z.

6. Решите уравнение: $sin(7x)-2sin^2(x)+sin(3x)=-1$.

Решение.
$2sin(5x)cos(2x)=-1+2sin^2(x)$.
$2sin(5x)cos(2x)=-cos(2x)$.
$cos(2x)(2sin(5x)+1)=0$.
$cos(2x)=0;   2sin(5x)+1=0$.
$2x=\frac{π}{2}+πn$;   $5x=\frac{-π}{6}+2πn$;   $5x=\frac{-5π}{6}+2πn$.
$x=\frac{π}{4}+\frac{πn}{2}$;   $x=\frac{-π}{30}+\frac{2πn}{5}$;   $x=\frac{-π}{6}+\frac{2πn}{5}$.
Ответ: $x=\frac{π}{4}+\frac{πn}{2}$; $x=\frac{-π}{30}+\frac{2πn}{5}$; $x=\frac{-π}{6}+\frac{2πn}{5}$; n∈Z.


7. Упростите выражение: $\frac{sin(-2t)cos(-t)}{2sin(t)}-1$.

8. Решите уравнение: $cos(12x)=cos(10x)$.

9. Докажите тождество: $10\sin^2(45^o+5α)-5sin(10α)=5$.

10. Вычислите: $sin(84^o )+cos(126^o )-sin(24^o)$.

11. Решите уравнение: $\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x)=1$.

12. Решите уравнение: $\cos(7x)-2sin^2(5x)+cos(13x)=1$.


Ответы на задачи 7–12.



Ответы на задачи 7–12.

7. $-2cos^2(t)-sin^2(t)$.
8. $x=\frac{πn}{10}$; $x=\frac{πn}{2}$.
10. 0.
11. $x=\frac{π}{4}+2πn$; n∈Z.
12. $x=\frac{π}{20}+\frac{πn}{10}$; $x=±\frac{π}{9}+\frac{2πn}{3}$.