1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции $y=cos(x)$ на отрезке [$\frac{\pi}{6};\frac{4\pi}{3}$].

2. Упростите тригонометрические функции:

а) $\sin^2 (2π+t)-\sin^2(\pi+t)$;

б) $\frac{cos(\pi+t)tg(t)}{cos(\frac{3\pi}{2}+t)}$.

3. $Решите уравнение -sin(3\pi+t)+cos(\frac{π}{2}-t)-2=0$.

4. Постройте график функции $y=cos(x-\frac{\pi}{6})+2$.

5. Постройте график функции $y=3cos(2x)$.

6. Известно, $f(x)=3x^2+5x-2$. Докажите, что $f(cos(x))=cos^2(x)+5cos (x)-2sin^2(x)$.

7. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции $y=sin(x)$ на отрезке [$\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{3}$].

8.Упростите тригонометрические функции:

а) $\sin^2 (\frac{3\pi}{2}+t)+\sin^2(\frac{\pi}{2}+t)$;

б) $\frac{tg(\frac{\pi}{2}-t)cos(\frac{3\pi}{2}-t)}{sin(t-\frac{\pi}{2})}$.

9. $Решите уравнение sin(\frac{3\pi}{2}-t)+cos(t-\pi)=-\sqrt{2}$.

10. Постройте график функции $y=sin(x-\frac{\pi}{4})-1$.

11.Постройте график функции $y=-2cos(2x)$.

12. Известно, что $f(x)=-2x^2+3x+2$. Докажите, что $f(sin(x))=2cos^2(x)+3sin(x)$.


Ответы на задачи.

Ответы на задачи.

1. Наименьшее значение равно -1; наибольшее значение равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Рекомендации к решению. По графику определите промежутки возрастания и убывания функции. Сделайте вывод о наибольшем и наименьшем значении функции на данном промежутке. Функция убывает на $[\frac{π}{6}; π]$ и возрастает на $[π;\frac{4π}{3};]$. Делаем вывод, что в точке $π$ функция принимает наименьшее значение, а в точке $ \frac{π}{6}$ – наибольшее.

2.
a) 0.
б) -1.
Решение.
$\frac{cos(\pi+t)tg(t)}{cos(\frac{3\pi}{2}+t)}=-cos(t)* \frac{sin(t)}{cos(t)} : sin(t)=-1$.

3. $t=\frac{π}{2}+2πn$; n∈Z.
Решение.
$-sin(3π+t) =cos(\frac{π}{2}-t)-2=0$.
$sin(t)+sin(t)=2$.
$2sin(t)=2$.
$sin(t)=1$.
$t=\frac{π}{2}+2πn$; n∈Z.

4. Требуемый график получается из графика функции $y=cos(x)$, смещением на $\frac{π}{6}$ вправо и 2 единицы вверх.

5. Требуемый график получается из графика функции $y=cos(x)$ расширением в три раза по оси Y и сужением в два раза по оси X.

6.
Решение.
$f(cos(x))=3cos^2(x)+5cos(x)-2=3cos^2(x)+5cos(x)-2(sin^2(x)+cos^2(x))=$ $=cos^2(x)+5cos(x)-2sin^2(x)$.

7. Наименьшее значение равно -1; наибольшее значение равно 1.

8.
а) $2cos^2(t)$.
б) 1.

9. $t=±\frac{π}{4}+2πn$; n∈Z.

10. Требуемый график получается из графика функции $y=sin(x)$ смещением на $\frac{π}{4}$ вправо и 1 единицы вниз.

11. Требуемый график получается из графика функции $y=cos(x)$ расширение в два раза по оси Y и сужением в два раза по оси X. Также график необходимо перевернуть относительно оси абсцисс.