1. Вычислите функции:

a) $\sin(- \frac{5\pi}{6})$;	б) $cos(- \frac{10\pi}{3})$;
в) $tg(- \frac{5\pi}{6})$;	г) $ctg(6.5\pi)$.

2. Решите следующие уравнения:

a) $\sin t = \frac{1}{2}$;

б) $\cos t = - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Упростите тригонометрическое выражение: $\frac{cos(t)}{ctg(-t)} - \sin(t -3\pi)$.

4. Докажите тождество: $sin(t)tg(t) + cos(t)=cos^{-1}(t)$.

5. Вычисли тригонометрическую функцию: $\sin(1110°)+\sqrt{3}cos(1050°) -ctg(585°) $.

6. Известно, что $cos(t)=\frac{-2}{3},\pi<t<\frac{3\pi}{2}$. Вычислите: $sin(t), tg(t), ctg(t)$.

7. Существует ли такое число t, что выполняется равенство: $sin(t)=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{7}}$?

8. Вычислите функции:

a) $\sin\frac{5\pi}{3}$;	б) $cos(-\frac{3\pi}{4})$;
в) $tg(- \frac{5\pi}{6})$;	г) $ctg(-10,5\pi)$.

9. Решите следующие уравнения:

a) $\sin t =-1$;

б) $\cos t = \frac{1}{2}$.

10. Упростите тригонометрическое выражение: $\frac{sin(-t)}{tg(t)} + \cos(5\pi -t)$.

11. Докажите тождество: $\frac{tg(t)}{ctg(t)}+1=cos^{-2}(t)$.

12. Вычисли тригонометрическую функцию: $\frac{\sin(1140°)}{\sqrt{3}} + 2cos^2(330°) - tg^2(420°)$.

13. Известно, что $sin(t)=\frac{3}{4}, 0<t<\frac{\pi}{2}$. Вычислите: $cos(t), tg(t), ctg(t)$.

14. Существует ли такое число t, что выполняется равенство $sin(t)=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$?

Ответы на задачи.

Ответы на задачи.

1.
a) -0,5.
б) $-\frac{1}{2}$.
Решение.
$cos(-\frac{10π}{3})=cos(\frac{10π}{3})=cos(3π + \frac{π}{3})=-cos(\frac{π}{3})=-\frac{1}{2}$.
в) $\frac{-1}{\sqrt{3}}$.
г) 0.

2.
а) $\frac{π}{6}+2πn$; $\frac{5π}{6}+2πn$; n∈Z.
б) $±\frac{5π}{6}+2πn$; n∈Z.

3. 0.
Решение.
$\frac{cos(t)}{ctg(-t)} - \sin(t -3\pi)=\frac{cos(t)}{-ctg(t)}+sin(3π-t)=cos(t) : \frac{-cos(t)}{sin(t)}+sin(t)=-cos(t) * \frac{sin(t)}{cos(t)}+sin(t)=0$.

4. $cos^{-1}(t)$.
Решение.
$sin(t)tg(t) + cos(t)=sin(t)*\frac{sin(t)}{cos(t)}+\frac{cos^2(t)}{cos(t)}=\frac{sin^2(t)}{cos(t)}+\frac{cos^2(t)}{cos(t)}=\frac{1}{cos(t)}=cos^{-1}(t)$.

5. 1.
Решение.
$sin(3*360+30)+\sqrt{3}cos(3*360-30)-ctg(180*3+45)=sin(30)+\sqrt{}3cos(30)-ctg(45)=0,5+1,5-1=1$.

6. $sin(t)=-\frac{\sqrt{5}}{3}$; $tg(t)=\frac{\sqrt{5}}{2}$; $ctg(t)=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Рекомендация. Воспользуйтесь основным тригонометрическим тождеством и определите, в какой четверти находится угол?

7. Нет решений.
Решение.
Для решения задачи необходимо сравнить число $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{7}}$ с единицей и минус единицей, если это число больше единицы или меньше минус единицы, то решение не существует. Если от минус одного до одного, то решение существует.
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{7}}<1$.
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{7}}-1<0$.
$\frac{1-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{5}-\sqrt{7}}<0$. Полученное число меньше единицы, необходимо проверить второе условие, что данное число больше минус единицы.
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{7}}<-1$.
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{7}}+1<0$.
$\frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{5}-\sqrt{7}}<0$. Рассматриваемое число меньше единицы, таком образом условие не выполнено. Представленное уравнение решений не имеет.

8.
a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
б) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
в) $\frac{-1}{\sqrt{3}}$.
г) 0.

9.
а) $\frac{3π}{2}+2πn$; n∈Z.
б) $±\frac{2π}{3}+2πn$; n∈Z.

10. $-2cos(t)$.

12. -1.

13. $cos(t)=\frac{\sqrt{7}}{4}$; $tg(t)=\frac{3}{\sqrt{7}}$; $ctg(t)=\frac{\sqrt{7}}{3}$.

14. Нет.