Математика для 4 класса - учебник

2.    Прочитайте числа:

Запишите цифрами числа:

а)    четыреста двадцать три миллиарда триста сорок миллионов шестьсот тысяч девятьсот восемьдесят;

б)    пятьдесят два миллиарда восемь тысяч двенадцать;

в)    семьсот семьдесят семь миллиардов шестьдесят восемь тысяч;

г)    двадцать два миллиона три тысячи восемь;

д)    восемьдесят четыре миллиарда сорок;

е)    девять миллиардов пятьдесят пять тысяч.

Запишите цифрами и прочитайте получившееся число:

Упражнения для повторения.

5.    Решите уравнение:

1)    368 + к=401;        3) (х + 121) + 38=269;

2)    m + 489=502;       4) (132+у)+72=341.

6.    Постройте отрезок, длина которого:

а) 5 см 3 мм;            б) 2 см 7 мм.

7.    В 1977 году в нашей стране каждые сутки выпускалось 646 металлорежущих станков. Сколько таких станков выпускалось за 26 суток?

8.    Решите задачу:

1)    Мотоциклист едет со скоростью 95 км/ч, а скорость велосипедиста на 76 км/ч меньше. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста?

2)    Скорость теплохода 45 км/ч, а скорость электровоза на 90 км/ч больше. Во сколько раз скорость теплохода меньше скорости электровоза?

9.    Выполните действия:

1)    (4396+2087) * 504;

2)    (25 712-16 668) * 902.

Упражнения для домашней работы.

10.    Запишите цифрами числа:

а)    девяносто пять миллиардов триста восемь миллионов шестьсот тысяч семьсот сорок пять;

б)    десять миллиардов сто миллионов семьдесят пять тысяч три;

в)    четыре миллиарда пять тысяч шесть.

11.    Напишите 9 раз подряд цифру «3». Прочитайте получившееся число.

12.    Пик Коммунизма—самая высокая гора СССР — имеет высоту 7495 м над уровнем моря. Пик Победы ниже пика Коммунизма на 56 м, Казбек на 2406 м ниже пика Победы, а Эльбрус на 609 м выше Казбека. Какова высота Эльбруса? На сколько Эльбрус ниже пика Коммунизма?

13.    Решите уравнение:

а)    2341+(у+749)=3091;

б)    8405+(374+x)=8985.

14.    Выполните действия:

а)    (58 508+498 115) : 69;

б)    (884 034-94 683) : 87.

2.;Обозначение дробных чисел.

Пирог разрезан на 4 равные части. Из них 1 часть лежит на одной тарелке, а 3 части—на другой. На первой тарелке лежит одна четвертая часть пирога, а на второй — три четвертых части пирога.

1 3

Пишут: 1/4 пирога и 3/4 пирога. Такие записи, как 1/4 и 3/4, называют обыкновенными дробями.

В дроби 3/4 число 3 называют числителем дроби, а число 4 — знаменателем дроби. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разрезан пирог, а числитель показывает, сколько взято таких частей.

Девочке дали 2/4 пирога, а мальчику 1/2 пирога. Девочка получила два маленьких куска, а мальчик—один большой. Но пирога они получили поровну. Дроби 2/4 и 1/2 называют равными.

Две равные дроби—это различные обозначения одного и того же числа.

Рис. 5

Задача 1. Масса буханки хлеба равна 1800 г. Какова масса 4/9 буханки?

Разрежем буханку на 9 равных частей (рис. 5). Каждая часть имеет массу 1800 : 9 = 200 (г). Значит, масса 4 таких частей 200 -4 = 800 (г). Итак, масса 4/9 буханки равна 800 г.

15.    Начертите квадрат со стороной 6 см. Разделите его на 3 равные части. Закрасьте 2/3 квадрата. Какая часть квадрата осталась незакрашенной?

Начертите квадрат со стороной 4 см. Разделите его на 4 равные части. Закрасьте 3/4 квадрата. Чему равна площадь закрашенной части? Придумайте еще два способа решения этой задачи.

17. Прочитайте дроби:

2/5,   3/7,   9/10,   5/8,   6/12

Назовите числитель и знаменатель каждой дроби.

18.    Запишите в виде дроби число:

а)    три шестых;

б)    семь десятых;

в)    одиннадцать сотых;

г)    двадцать три тысячных;

д)    восемь пятнадцатых;

е)    одиннадцать сорок восьмых;

ж)    одну двадцать пятую;

з)    десять тридцать седьмых.

19.    С помощью рисунка 6 выясните, равны ли дроби 2/3 и 4/6.

20.    Купили кусок ткани длиной 250 см и его пятую часть израсходовали на платья куклам. Сколько сантиметров ткани израсходовали на платья?

21.    Длина дороги 20 км. Заасфальтировали 3/4 дороги. Сколько километров дороги заасфальтировали?

22.    Продолжительность урока 45 мин. На решение задачи ушло 7 мин. Какая часть урока ушла на решение задачи?

23.    Купили 5 кг 600 г сахара и израсходовали на варенье 7/8 всего сахара. Сколько сахара пошло на варенье?

24.    От доски длиной 9 м отпилили 4 м. Какую часть доски отпилили?

Упражнения для повторения.

25.    Прочитайте числа:

6 080 015,    23 008 705,

9 000 800 001, 400 678 000 025.

26.    Запишите цифрами число:

а)    три миллиарда восемьдесят две тысячи триста пять;

б)    десять миллиардов два миллиона шестьдесят четыре тысячи;

в)    тринадцать миллиардов сто миллионов двести сорок тысяч три;

г)    пятьсот четыре миллиарда три миллиона десять тысяч сорок восемь;

д)    сто один миллиард сто один миллион сто одна тысяча сто один.

27.    Начертите ломаную ABCD, в которой длина отрезка АВ равна 2 см 8 мм, длина отрезка ВС—4 см 1 мм и длина отрезка CD—3 см 2 мм.

28.    Длина прямоугольного садового участка 86 м, а ширина 39 м. Найдите периметр и площадь этого участка.

29.    В 1977 году в нашей стране за 25 дней выпускали 38 975 тракторов. Сколько тракторов выпускали ежедневно?

30.    Выполните действия:

1)    668 • (3076+5081);        3) 2 111 022 : (5960-5646);

2)    783 • (66 161-65 752);    4) 2 045 639 : (6700-6279).

Упражнения для домашней работы.

31.    Начертите круг, радиус которого 2 см, и закрасьте: а) 3/4 круга; б) 5/6 круга.

32.    С огорода принесли 42 кг огурцов и 5/7 всех огурцов засолили. Сколько килограммов огурцов засолили?

33.    Испекли каравай, масса которого 3 кг. Отрезали 2 кг. Какую часть каравая отрезали?

34.    Начертите ломаную МРК так, чтобы длина отрезка МР равнялась 4 см 4 мм, а длина отрезка РК равнялась 5 см 6 мм. Измерьте расстояние между точками М и К.

35.    Из станицы в город колхозник ехал на машине со скоростью 55 км/ч. На всю дорогу он потратил 3 ч. Из города в станицу по той же дороге ехал велосипедист

со скоростью 11 км/ч. Сколько времени потратил велосипедист на весь путь от города до станицы?

36.    Выполните действия:

а) 46 • 508 • 812; б) 4968 • 864 :1152.

3.    Отрезок и его длина.

Две точки А и В можно соединить различными ломаными линиями и лишь одним отрезком АВ (рис. 7). Отрезок АВ имеет наименьшую длину среди всех линий, соединяющих точки А и В. Его обозначают [АВ]. Тот же самый отрезок можно обозначить и по-другому: [ВА]. Длину отрезка АВ обозначают |АВ|. Длина отрезка АВ на рисунке 7 равна 4 см. Пишут: ∣AB∣ = 4 см.

Граница многоугольника на рисунке 8 состоит из пяти отрезков. Точки А, В, С, D, Е называются вершинами многоугольника ABCDE. Длину границы многоугольника, то есть сумму длин его сторон, называют периметром этого многоугольника.

37.    Отметьте три точки М, Р и С. Соедините точки М та С отрезком и ломаной МРС. Запишите обозначения получившихся отрезков. Сравните длину отрезка МС с длиной ломаной МРС.

38.    На рисунке 9 часть линии, соединяющей точки С и D, закрыта двумя прямоугольниками. Является ли линия CD отрезком? Проверьте это с помощью инейки.

39.    На рисунке 10 изображен многоугольник. Чем являются его стороны? Сколько сторон имеет этот многоугольник?

40.    Начертите квадрат МКРН со стороной 3 см. Напишите список отрезков, составляющих границу квадрата. Вычислите длину границы квадрата.

41.    Начертите отрезки АВ и ВС так, чтобы ∣AB∣ = 5 см 7 мм и ∣BC∣ = 4 см 3 мм.

42.    Измерьте: а) длину и ширину тетради; б) расстояние между концами большого и указательного пальцев, как показано на рисунке 11.

43.    Отметьте в тетради точки М, А и К. Измерьте расстояние между каждыми двумя точками и запишите результаты измерений.

44.    Точка С лежит между точками А и В. Найдите длину отрезка АВ, если длина отрезка АС равна 18 см, а длина отрезка СВ в 3 раза больше длины отрезка АС.

Упражнения для повторения.

45.    У ученика было 50 к. На завтрак он израсходовал 3/5 этих денег. Сколько копеек стоил его завтрак?

46.    Около дома стояло 7 машин. Из них 2 были серыми. Какую часть всех машин составляют серые машины?

47.    Выполните действия:

1)    229 372 :286 • 506;

2)    282 370 : 302 : 85;

3)    195 840 : (32 • 18);

4)    538 • (301 608 : 426).

48.    Расстояние от Земли до Солнца равно 150 млн. км. Сколько времени идет на Землю свет от Солнца, если за одну секунду он проходит 300 тыс. км?

49.    В 1977 году в нашей стране ежесуточно добывали около 1980 тыс. т угля. Сколько потребуется железнодорожных вагонов грузоподъемностью 60 т, чтобы перевезти этот уголь?

Упражнения для домашней работы.

50.    Отметьте в тетради любые пять точек и обозначьте их. Одну из них соедините отрезками с остальными точками. Составьте список получившихся отрезков.

51.    Составьте полный список отрезков, изображенных на рисунке 12.

52.    От Харькова до Севастополя 770 км, а от Харькова до Москвы на 10 км больше. Найдите длину пути от Севастополя до Москвы через Харьков.

53.    Одна из сторон прямоугольника 24 см, а другая в 3 раза больше. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

54.    Выполните действия:

а)    691 • 308+485 979;

б)    507 • 664-296 085.

4. Шкалы .

На линейке (рис. 13) нанесены штрихи, которые разбивают ее на части, или деления.

Длина каждого деления равна одному сантиметру. Все деления линейки образуют шкалу. С помощью этой шкалы измеряют длины отрезков. Длина отрезка АВ равна 6 см:

|АВ| = 6 см.

У линейки много родственников. Одного из них вы видите на рисунке 14. Это комнатный термометр. Его шкала состоит из пятидесяти пяти делений. Каждое деление шкалы составляет один градус Цельсия. Термометр показывает температуру 21 °С.

Шкалами удобнее пользоваться, если на них написаны числа. На линейке числа написаны около каждого штриха (см. рис. 13), а на термометре — лишь около длинных штрихов, через каждые десять делений (см. рис. 14).

55.    Одно деление шкалы линейки (рис. 15) составляет один миллиметр. Найдите

длину каждого отрезка и напишите результаты. На сколько наибольший отрезок больше наименьшего?

56.    Какую температуру показывает каждый термометр, изображенный на рисунке 16? Какую температуру будут показывать эти термометры, если столбики:

а)    опустятся на шесть делений;

б)    поднимутся на четыре деления;

в)    опустятся на три деления;

г)    поднимутся на пять делений?

57.    Мальчик отметил показания термометра вечером и утром. Одно деление шкалы на его термометре составляет два градуса. На сколько градусов повысилась или понизилась температура за ночь, если столбик термометра:

а)    поднялся на три деления;

б)    опустился на четыре деления;

в)    опустился на шесть делений;

г)    поднялся на пять делений?

58.    Автомобиль подъезжает к городу, по улицам которого разрешается ехать со скоростью не более чем 60 км/ч. Посмотрите на спидометр¹, установленный в кабине автомобиля (рис. 17). Нарушит ли шофер правила уличного движения, если не изменит скорость? На сколько делений и в какую сторону передвинется стрелка, когда скорость снизится до 60 км/ч? Каким будет показание спидометра, когда автомобиль остановится?

На рисунке 19 изображена шкала. Какие числа соответствуют точкам А, В, С м D на этой шкале?

Начертите в тетради отрезок, длина которого 12 клеток. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим— 24. Разделите отрезок штрихами на 12 одинаковых частей. Расставьте на полученной шкале числа 6, 10, 16, 20.

Упражнения для повторения.

62.    Прочтите записи: |АВ|, |AB|, |КР|, |KD|.

63.    Точка В лежит между точками А и С, а точка А—между точками D и В. Найдите длину отрезка DC, если длина отрезка DA равна 45 см, длина отрезка АВ на 3 см больше длины отрезка DA, а длина отрезка ВС на 17 см меньше длины отрезка АВ.

64.    Квадрат ABCD—нижняя грань куба (рис. 20). Назовите верхнюю, заднюю, левую и правую грани куба.

65.    До революции в нашей стране было 14 тыс. массовых библиотек. К 1940 году их число увеличилось на 81 тыс., а к концу 1977 года—еще на 36 тыс. Сколько массовых библиотек было в нашей стране к концу 1977 года?

66.    Решите задачу:

1)    Периметр треугольника 28 см, а периметр прямоугольника в 4 раза больше. На сколько сантиметров периметр треугольника меньше периметра прямоугольника?

2)    Периметр треугольника 36 см, а периметр прямоугольника в 3 раза меньше. На сколько сантиметров периметр треугольника больше периметра прямоугольника?

67.    Решите задачу, составляя уравнение:

1)    Витя задумал число. Если к этому числу прибавить 23 и к полученной сумме прибавить 18, то получится 52. Найдите задуманное число.

2)    Маша задумала число. Если к этому числу прибавить 14 и к полученной сумме прибавить 16, то получится 75. Найдите число, которое задумала Маша.

68.    Из 12 дней зимних каникул Лена была 8 дней у бабушки. Какую часть каникул Лена гостила у бабушки?

69.    Выполните действия:

1)    340 850 : (135 575 : 319);

2)    208 380 : (90 390 : 262).

Упражнения для домашней работы.

70 Найдите длину каждого животного на рисунке 21. На сколько метров кит длиннее акулы? На сколько метров крокодил короче анаконды? Одно деление шкалы — 1 м.

71.    Постройте отрезки АВ, ВС и СР, если |AB|=2 см 9 мм, ∣BC∣=3 см 3 мм и ∣CP∣=5 см 1 мм.

72.    Ширина прямоугольника 132 см, а длина на 47 см больше ширины. Найдите периметр прямоугольника.

73.    Самая большая река в европейской части СССР— Волга—имеет длину 3530 км. Днепр на 1330 км короче Волги, а Урал длиннее Днепра на 228 км. Какова длина реки Урал? На сколько Волга длиннее Урала?

74.    Выполните действия:

а)    (829+239) -75; д) 3969 : (111 - 48);

б)    1001-(68+596); е) (928-88) : 56;

в)    965+35-481; ж) 8*125 *30;

г)    2306-1297+456; з) 8991 : 111 : 3.

5. Прямая.

Поверхности стола, школьной доски, листа бумаги дают представление о плоскости. Через любые две точки плоскости проходит единственная прямая. На рисунке 22

прямая проведена через точки А и В. Эту прямую обозначают (АВ). Отрезок АВ составляет часть прямой АВ. Прямая, в отличие от отрезка, не имеет ни начала ни конца. От любой точки прямой на ней можно отложить в обе стороны отрезки какой угодно длины.

На рисунке 23 от точки А, лежащей на прямой, отложены в обе стороны отрезки АВ и АС по 2 см. Точка А является серединой отрезка ВС.

Точка С на рисунке 24 лежит на одной прямой с точками А и В, она лежит между ними.

Какие из точек, обозначенных на рисунке 25, принадлежат прямой АВ и какие ей не принадлежат?

76.    Начертите отрезок АВ и продолжите его в обе стороны. Отметьте на прямой АВ две точки С и D внутри отрезка и две точки Е и F вне отрезка. Запишите обозначения каких-нибудь трех получившихся отрезков.

Пересекаются ли прямая АВ и отрезок МР, прямая АВ и отрезок ОЕ (рис. 26), прямая АВ и прямая CD, прямая CD и отрезок ТК?

78.    Начертите прямую КМ и отметьте на ней точку О. Отложите на прямой от точки О один за другим два отрезка по 3 см. Отложите в другую сторону от точки О три отрезка по 2 см. Можно ли отложить от этой точки в обе стороны по 100 отрезков длиной 4 см?

79.    Проведите прямую и отметьте на ней точки А и В. Отметьте точку С между точками А и В и точку D между точками В и С. Найдите такую точку Е, чтобы В лежала между D та Е. Какая из точек А, С, Е лежит между двумя другими?

Упражнения для повторения.

80.    Начертите отрезок длиной 10 см и разделите его штрихами на пять одинаковых частей. Напишите над одним концом отрезка число 0, а над другим — число 10. Напишите соответствующее число над каждым штрихом шкалы.

81.    Точка С лежит между точками А и В, а точка В— между точками С и D. Найдите расстояние между точками А и D, если длина отрезка АС равна 15 см, длина отрезка СВ на 8 см больше длины отрезка АС, а длина отрезка BD в 2 раза больше длины отрезка АВ.

82.    Решите уравнение:

83. Решите уравнение:

84.    Решите задачу:

1)    На одной ферме 847 коров, а на другой на 309 коров больше. Сколько коров на двух фермах?

2)    Один комбайнер намолотил 231 т зерна, а второй — на 46 т меньше. Сколько зерна намолотили оба комбайнера?

85.    Миша шел со скоростью 5 км/ч, а Витя— со скоростью 4 км/ч. На сколько Витя затратил больше времени, чем Миша, на путь, равный 20 км?

Упражнения для домашней работы.

86. Сколько точек пересечения имеют прямые, изображенные на рисунке 27?

87. На рисунке 28 укажите тройки точек, одна из которых лежит между двумя другими.

88.    Выполните действия:

1 391 616 : 96 :48.

89.    Телевизионная башня в Москве состоит из железобетонной опоры высотой 385 м, металлической части, которая короче железобетонной опоры на 234 м (рис. 29). Найдите высоту телевизионной башни в Москве.

6. Луч.

Точка О делит прямую АБ (рис. 30) на две части. Каждая из них вместе с точкой О составляет новую фигуру. Эту фигуру называют лучом. Точку О называют началом луча. Конца у луча нет.

На рисунке 31 изображен луч РК. Его началом является точка Р. Этот луч обозначают так: [РК). Первой пишут букву, обозначающую начало луча.

90.    Назовите точки, отрезки и прямые, изображенные на рисунке 32. Запишите их обозначения. Назовите каждый луч и его начало.

91.    Имеют ли общую точку (рис. 33) лучи АС и РК, АС и MN, РК и MN7

92.    Начертите луч АХ и отложите на нем от начала один за другим три отрезка по 2 см. Можно ли на этом луче отложить 1000 таких отрезков?

93.    Точка А лежит на луче О А и удалена от его начала на 8 см. Сколько можно отложить на луче отрезков длиной 12 см от точки А?

94.    На прямой АВ отмечены точки С и D. Назовите все лучи, лежащие на прямой АВ, с началом в точках С и D. Какие из них содержат отрезок CD

Упражнения для повторения.

95.    На рисунке 34 изображен куб. Отрезок АВ—ребро куба. Квадрат АВРК—грань куба. Назовите ребра верхней грани.

96.    Отрезок ОК (рис. 35) разделен на 5 равных частей. Назовите отрезок, длина которого равна:

a) 2/5 |OK|-      6) 3/5 |OK|.

Какую часть отрезка ОК составляет отрезок СВ?

97.    Решите уравнение:

1)29 125+(p-336)=29 125; 3) 12 084—(х +179) = 10 598; 2) 12 897+(169-m) = 12 897; 4) 13 758-(y-167) = 10 992.

Упражнения для домашней работы.

98.    Начертите луч ОА, отметьте на нем точки М и P. Запишите все лучи, образовавшиеся на чертеже.

99.    Постройте луч ОК и отрезки АВ, CD, МР так, чтобы отрезок АВ пересекал луч, отрезок CD лежал на луче и отрезок МР не имел с лучом ни одной общей точки.

100.    Используя рисунок 36, составьте уравнение и решите его.

7. Бесконечная шкала.

На шкале термометра (см. рис. 14) нельзя указать число, большее, чем 55. Чтобы построить шкалу, на которой можно было бы указать любое число, возьмем луч ОХ (рис. 37) и начертим его так, чтобы он шел слева направо. Отметим на этом луче какую-нибудь точку В. Напишем над началом луча число 0, а над точкой В число 1. Отрезок ОВ будем называть единичным отрезком.

Чтобы отметить на луче число 2, надо отложить от начала луча один за другим два единичных отрезка. Чтобы отметить число 3, надо отложить три единичных отрезка. Так как луч не имеет конца, на нем найдется место для любого числа. В результате получится бесконечная шкала.

101.    Начертите слева направо луч. За единичный отрезок примите одну клетку тетради. Отметьте на этом луче числа:

а)    0, 3, 6, 9, 12, 15, 18;

б)    1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.

102.    Начертите луч и отметьте на нем числа: а) 0, 1, 3, 5, если единичный отрезок равен 1 см; б) 0, 1, 2, 4, если единичный отрезок равен трем клеткам.

103.    Выберите единичный отрезок и отметьте на луче числа:

а)    3, 5, 4, 1;     в) 20, 18, 16, 14;

б)    2, 3, 6, 8;     г) 11, 15, 19, 23.

104.    Какое число стоит на шкале у конца стрелки:

а) на рисунке 38; б) на рисунке 39?

105.    Какие натуральные числа лежат на луче между числами:

а) 112 и 118; б) 2089 и 2091?

106.    Найдите числа, которые на луче удалены от числа 14:

а)    на 9 единиц; в) на 6 единиц;

б)    на 20 единиц; г) на 14 единиц.

Упражнения для повторения.

107.    Решите уравнение:

108.    Решите задачу:

1)    От туристского лагеря до города 84 км. Турист ехал на велосипеде из лагеря в город со скоростью 12 км/ч, а обратно он ехал по той же дороге со скоростью 14 км/ч. На какой путь турист потратил больше времени и на сколько часов?

2)    Почтальон живет на расстоянии 24 км от почтового отделения. Путь от дома до почты он проехал на велосипеде со скоростью 8 км/ч, а обратный путь по той же дороге он проехал со скоростью 6 км/ч. На какой путь почтальон потратил меньше времени и на сколько часов?

109.    Из одной точки в одном и том же направлении одновременно начали свой путь две черепахи (рис. 40). Первая проползает в минуту 1 м 30 см, а вторая — 97 см. Какое расстояние между черепахами будет через 10 мин?

110.    Выполните действия:

Упражнения для домашней работы.

111.    Начертите луч и отметьте на нем числа:

а)    0, 1, 5, 8, 10, 17, если единичный отрезок равен одной клетке;

б)    1, 2, 4, 7 и 5, если единичный отрезок равен трем клеткам.

112.    Выберите единичный отрезок и отметьте на луче числа:

а) 1, 3, 5, 7, 9, 11; б) 10, 8, 6, 4, 2, 0.

113.    У Андрюши 123 почтовые марки, а у Алеши в 3 раза меньше. На сколько марок у Андрюши больше, чем у Алеши?

114.    Какую часть недели составляют:

а) двое суток; 6) трое суток?

115.    Масса дыни 2 кг 800 г. Какова масса:

а) 1/4 дыни; 6) 3/4 дыни?

116.    Выполните действия:

а)    439 060+432 288 : 72;

б)    2 010 201-415 498 : 83.

8. Числовые множества.

Составим полный список натуральных чисел, расположенных на луче между числами 21 и 28 (рис. 41):

'     22, 23, 24, 25, 26, 27.

Получилось множество натуральных чисел, расположенных между числами 21 и 28. Множество чисел записывают с помощью фигурных скобок:

{22, 23, 24, 25, 26, 27}.

Каждое из чисел 22, 23, 24, 25, 26 и 27 принадлежит множеству {22, 23, 24, 25, 26, 27}. Никакое другое число этому множеству не принадлежит.

Множество натуральных чисел, расположенных на луче между числами 21 и 23, состоит только из одного числа 22. Это множество обозначают: {22}.

Множество натуральных чисел, расположенных между числами 21 и 22, не содержит ни одного числа. Такое множество называется пустым множеством. Пустое множество обозначается знаком ∅.

117.    Запишите с помощью фигурных скобок множество натуральных чисел, расположенных на луче между числами 10 и 15. Сколько в этом множестве чисел? Какие из чисел 0, 10,11, 12,15и50 принадлежат этому множеству?

118.    Запишите с помощью фигурных скобок или знака ∅ множество:

а)    однозначных чисел;

б)    двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 3;

в)    чисел, применяемых в качестве школьных отметок;

г)    натуральных чисел, расположенных на луче левее числа 2;

д)    двузначных чисел, расположенных на луче левее девяти.

119.    Какие из чисел 9, 19, 0, 99, 109, 929 принадлежат множеству двузначных чисел?

120.    Составьте множество двузначных чисел, при записи которых используются лишь цифры 2, 8, 5. Сколько в этом множестве чисел?

Упражнения для повторения.

121.    Начертите луч и отметьте на нем числа 0, 1, 3, 7 и 10. Отметьте на том же луче числа, которые удалены от числа 7 на 2 единицы.

122.    Решите задачу, составляя уравнение:

1)    Вася купил ручку за 30 к. и несколько тетрадей по 3 к. за штуку. Сколько тетрадей купил Вася, если он за всю покупку заплатил 51 к.?

2)    Наташа купила альбом за 42 к. и несколько карандашей по 4 к. за штуку. Сколько карандашей купила Наташа, если она за всю покупку заплатила 54 к.?

123.    По реке движутся плот и катер навстречу друг другу. Сейчас расстояние между ними 52 км. Скорость плота 4 км/ч, а катера—9 км/ч. На сколько изменится расстояние между ними за 1 ч? Какое расстояние между ними будет через 2 ч, через 4 ч, через 8 ч?

124.    Выполните действия:

1)    416 • 509+536 469 : 67;     2) 765 • 308+564 846 : 94.

125.    Выполните действия по следующим командам: 1) умножьте 702 на 38; 2) полученное произведение разделите на 57; 3) из полученного частного вычтите 196.

Упражнения для домашней работы.

126.    Запишите с помощью фигурных скобок множество натуральных чисел, расположенных на луче между числами 97 и 105. Какие из чисел 97, 100 и 106 не принадлежат этому множеству?

127.    Скорость велосипедиста (рис. 42) 20 км/ч, а скорость всадника 16 км/ч. Сейчас расстояние между ними 108 км. Какое расстояние между ними будет через 2 ч?

128. Мужчина и мальчик вышли из совхоза в одно и то же время и пошли в город по одной и той же дороге. Мужчина идет со скоростью 5 км/ч, а мальчик—со скоростью 3 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 ч, через 2 ч?

129. Какое число стоит на шкале у конца каждой стрелки (рис. 43)?

130.    Выполните действия:

а)    105 555 : 465+5719 -64;

б)    82 276 : 268+228 475 : 325.

9. Множества с любыми элементами.

Множества могут состоять не только из чисел, но и из людей, машин, животных, растений, точек, фигур и т. д. В жизни множества обычно называют по-разному. Так, например, говорят: не множество коров, а стадо коров; не множество лошадей, а табун лошадей; не множество инструментов, а набор инструментов.

Каждый предмет, входящий в множество, называют элементом множества. Множество однозначных чисел состоит из следующих элементов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В множестве частей света содержатся элементы: Европа, Азия, Африка, Америка, Австралия (с Океанией) и Антарктида.

Фигурные скобки используются для записи множества с любыми элементами. Запишем в алфавитном порядке множество планет солнечной системы (рис. 44): {Венера, Земля, Марс, Меркурий, Нептун, Плутон, Сатурн, Уран, Юпитер}.

Элементы множества можно записывать в любом порядке. Например: {2, 3, 1} и {3, 1, 2}—это одно и то же множество, состоящее из чисел 1, 2, 3:

{2, 3, 1}={3, 1, 2}.

Точно так же {С, В, А} и {В, А, С} являются одним и тем же множеством — фигурой, состоящей из точек А, В к С:                ......

{С, В, A}={B, А, С}.

131.    Приведите примеры, в которых вместо слова «множество» применяют слова: команда, стая, звено, бригада, коллекция.

Запишите с помощью фигурных скобок множество:

а) различных букв в слове «математика»; б) четных однозначных чисел; в) нечетных однозначных чисел.

По какому признаку составлено множество:

а)    {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье};

б)    {январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь};

в)    {Алма-Ата, Ашхабад, Баку, Вильнюс, Душанбе, Ереван, Киев, Кишинев, Минск, Москва, Рига, Таллин, Ташкент, Тбилиси, Фрунзе}?

134. С разных сторон на холм поднимаются 3 тропинки и сходятся на его вершине. Составьте множество маршрутов, по которым можно подняться на холм и спуститься с него. Решите ту же задачу, если вверх и вниз надо идти по разным тропинкам.

Из Акулово в Рыбницу ведут 3 дороги, а из Рыбницы в Китово — 4 дороги (рис. 45). Сколькими способами можно проехать из Акулово в Китово через Рыбницу?

Упражнения для повторения.

136.    Одна из сторон треугольника 3 дм 6 см, а другая в 2 раза больше. Третья сторона меньше суммы двух других сторон на 4 дм 2 см. Найдите периметр треугольника.

138.    Решите уравнение:

1)    69 • к=14 076;

2)    b • 74=22 348;

3)    (7001+х) • 42=441 000;

4)    (8001+у) • 32=656 000.

139.    Выполните действия:

1)    507 • 664-296 085;

2)    691 • 308+485 979.

Упражнения для домашней работы.

140.    Запишите с помощью фигурных скобок множество треугольников, изображенных на рисунке 47. Сколько элементов в этом множестве?

141.    Отметьте точку О и проведите через нее прямые АВ, СМ и КР. Запишите множество образовавшихся лучей с началом в точке О.

142.    Ко Дню рождения пионерской организации ученики VI и VII классов посадили вдоль дороги 441 дерево. Учащиеся VII класса сажали 28 деревьев в день, а учащиеся VI класса—21 дерево в день. Сколько дней ученики занимались посадкой деревьев, если работали одновременно? Сколько дней ученики занимались посадкой деревьев, если VII класс работал вслед за VI?

143.    Выполните действия:

а) 618 • 522-567 • 244;         б) 2967 : 23-5207 : 41.

10.    Знаки ∈ и ∉.

Чтобы отличить множества друг от друга, их обозначают прописными буквами латинского алфавита. Обозначим множество однозначных чисел буквой А:

А={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Читают запись так: «Множество А состоит из чисел 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9».

Число 2 принадлежит множеству А, а число 23 ему не принадлежит.

Предложение «Число 2 принадлежит множеству А» записывают короче. Вместо слова «принадлежит» пишут знак Е:

2 Е А.

Предложение «Число 23 не принадлежит множеству А» записывают также короче, используя вместо слов «не принадлежит» знак ^ :

23 А.

Предложение «Точка X принадлежит отрезку СВ» (рис. 48) записывают так:

X ∈ [СВ].

144.    Запишите с помощью фигурных скобок или знака 0 множества С и D, если С—множество монет различного достоинства, выпускаемых в СССР, а D—множество мастеров спорта, которые учатся в вашем классе.

145.    К—множество планет солнечной системы (см. рис. 44). Принадлежат ли этому множеству Марс, Луна, Земля, Полярная звезда? Сделайте записи.

146.    А—множество трехзначных чисел, В— множество чисел, оканчивающихся цифрой 2. Какому из этих множеств принадлежат числа 724, 532, 42, 531, 1022, 222, 725, 839? Какие числа принадлежат обоим множествам?

147.    Какие из точек А, В, С и D (рис. 49) принадлежат: а) отрезку АВ; б) прямой СВ; в) лучу АВ; г) лучу В А?

Упражнения для повторения.

148.    Запишите с помощью фигурных скобок множество первых десяти букв латинского алфавита.

149.    Скопируйте рисунок 50. Выполните штриховку задней грани куба горизонтальными штрихами, а правой грани — вертикальными штрихами.

150.    Начертите ломаную линию ABCDE такую, что длина звена АВ равна 3 см, звено ВС на 1 см длиннее звена АВ, длина звена CD вдвое больше длины звена АВ, а длина звена DE втрое меньше длины звена CD. Найдите длину всей ломаной.

151.    Выполните действия:

1)    709 • 907-2 480 065 : 413; 2) 4 789 368 : 228-24 • 606.

Упражнения для домашней работы.

152.    К—множество натуральных чисел, расположенных между числами 97 и 104. Запишите множество К с помощью фигурных скобок. Какие из чисел 80, 90, 100, 110 принадлежат множеству К и какие ему не принадлежат? Ответ запишите с помощью знаков ∈ и ^ .

153.    Выполните действия:

а)    2 355 264 : 116-1 026 492 : 113;

б)    417 908+6073 • 56+627 044.

154.    А—множество учащихся нашего класса, а В—множество мальчиков нашего класса. В каком множестве больше элементов?

§ 2. РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА.

11.    Равные фигуры.

В геометрии изучают форму и размеры предметов, но не интересуются их цветом, массой, вкусом и т. д. Чтобы указать, что в геометрии интересуются только формой и размерами предметов, вместо слова «предмет» говорят фигура.

Прямоугольники на рисунке 51 имеют одинаковые размеры. Если вырезать один из них, то его можно наложить на другой так, что они совпадут. В геометрии две фигуры, которые можно наложить одну на другую так, чтобы они совпали, называют равными.

Фигуры, изображающие шахматных коней на рисунке 52, равны, а изображения мячей на рисунке 53 не равны, так как они имеют разные размеры, хотя и не отличаются по форме.

Когда шьют одежду, сначала из бумаги делают выкройку, а потом по ней вырезают кусок материала (рис. 54). Этот кусок материала равен по размерам выкройке.

Равные отрезки имеют равные длины. Если длины двух отрезков равны, то отрезки равны.

155. Начертите две окружности радиусом 3 см. Равны ли эти окружности? Проведите в этих окружностях по одному радиусу. Равны ли получившиеся отрезки?

1 Какие из флажков на рисунке 55 равны?

157.    Приведите примеры равных фигур, встречающихся в жизни.

158.    Точка О—центр окружности (рис. 56). Найдите на этом рисунке равные отрезки.

159.    Найдите равные фигуры на рисунке 57.

160.    Треугольники АВС и DEH равны. Чему равен периметр треугольника DEH, если

∣AB∣=3 см, ∣BC∣=4 см, ∣CA∣ = 5 см?

161.    Сравните на глаз внутренние круги на рисунке 58. Проверьте ответ с помощью циркуля.

162.    Какие из отрезков АВ, МР, CD, ОК и NT равны, если ∣AB∣ = 3 см, ∣MP∣ = 5 см, | СВ | = 30 мм, | ОК | = 50 мм, ∣ КТ| = 84 мм?

163 У четырехугольников ABCD и EFPQ все стороны имеют одну и ту же длину (рис. 59). Равны ли эти четырехугольники?

Упражнения для повторения.

164.    A={7, 9, 12, 15}, В={6, 9, 12, 14}. Какие из чисел 6, 7, 9 и 10 принадлежат: а) множеству А; б) множеству В? Сделайте записи.

165.    Зубр — один из самых крупных быков в мире. Это животное занесено в «Красную книгу». В 1940 году 5 зубров было завезено в Кавказский заповедник. К концу 1944 года число зубров увеличилось на 6, а к концу 1956 года стадо зубров насчитывало 106 голов. На сколько голов увеличилось стадо зубров за период с 1944 по 1956 год?

166.    Решите задачу:

1)    Мотоциклист и велосипедист едут навстречу друг другу. Сейчас расстояние между ними 272 км. Через сколько часов они встретятся, если скорость велосипедиста 12 км/ч, а скорость мотоциклиста 56 км/ч?

2)    Два мотоциклиста едут навстречу друг другу. Скорость одного из них 62 км/ч, а скорость другого 54 км/ч. Через сколько часов мотоциклисты встретятся, если сейчас между ними 348 км?

167.    Решите уравнение:

1)    (у + 1490) • 105=769 125;

2)    (2733+х) • 125=850 000.

Упражнения для домашней работы.

168.    Постройте в тетради фигуру, равную фигуре, изображенной на рисунке 60.

159.    По одной и той же выкройке вырезали кусок шелка и кусок сатина. Равны ли эти куски?

17θ Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Разрежьте этот прямоугольник на два равных треугольника и сложите из них треугольник, изображенный на рисунке 61. Можно ли переложить эти треугольники так, чтобы получился новый треугольник со стороной 12 см?

171.    Молодой рабочий выполнил задание за 8 ч, изготовляя в час 18 деталей. За сколько времени выполнит то же задание его наставник, если в час он изготовляет 24 детали?

172 От деревни Никольское до города 24 км. Лесом проходит — пути, а остальная часть—полем. Сколько километров пути проходит полем?

173.    Выполните действия:

20 703 401-92 -1375-313 906.

12. Меньше или больше.

Число 2305 больше числа 984 потому, что 2305—четырехзначное число, а 984—трехзначное. Числа 2305 и 1178 четырехзначные, но 2305 больше, чем 1178, потому, что тысяч в первом числе больше, чем во втором. Число 2305 больше числа 2186 потому, что тысяч в обоих числах поровну, а сотен в первом числе больше, чем во втором.

Полоску бумаги (рис. 62) разделили на 7 одинаковых частей. Слева закрасили -7 полоски, а справа--7 полоски. Сравним закрашенные части. Левая меньше, чем правая.

А ⁴ 7      7 '

Вообще,

из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Из двух различных чисел одно всегда меньше или больше другого. Меньшее число расположено на луче слева от большего, а большее — справа от меньшего (рис. 63). Например, число 1 лежит левее числа 3, так как 1 меньше, чем 3. Число — расположено правее, чем -7, так как -7 больше, чем γ.

Результат сравнения двух чисел или выражений, составленных из чисел, записывают в виде равенства или неравенства, например:

35-12=23,   21 + 7<32 + 8.

Равенства и неравенства бывают верными и неверными. Равенство 32 + 23 = 55 верно, а 17 + 69 = 77 неверно; неравенство 23> 12 верно, а 79 <61 неверно.

174.    Какое из двух чисел расположено левее на луче:

а) 5892 или 6001;          д) 540 623 или 540633;

б) 2 351 300 или 2 350 300; е) 999 888 или 998999;

.35            . 1117

в) — или — ;              ^ж) или ту;

\  ^{8          4}                             \ А ⁴ О

г)    — или —;               з) 0 или -у?

175.    Какое из двух чисел расположено правее на луче:

а)    101 010 или 110 011; д) 888 898 или 8 888 879;

б)    v или— ;            е) 1 010 010 или 1 000 100;

в)    62 0 005 или 0;        ж) ^ или--;

^r)⅛∏≡⅛!        з)^или^?

176.    Какое из двух чисел меньше? Запишите результат с помощью знака < (меньше) и прочитайте получившееся неравенство:

3           7

а)    37 или 85;        ^в) ~ или —

б)    52 или 9;           г) ■ ? или -7?

17 ■ Какое из двух чисел больше? Запишите результат с помощью знака > (больше) и прочитайте получившееся неравенство:

а)    74 или 13;          ^в) "7" или-у-;

б)    1 или 99;         г) или ^?

178.    Можно ли сравнить числа, в которых стерли несколько цифр и вместо каждой стертой цифры поставили звездочку: а) 72*** и 75***;   6) *3***и*8*?

179.    Я задумал число, оканчивающееся цифрой 5. Оно больше, чем 210, и меньше, чем 220. Какое это число?

180.    Найдите трехзначное число, которое оканчивается цифрой 1 и которое больше, чем 981.

181.    В списке учеников (см. таблицу) указан их рост. Назовите фамилии учеников:

а)    в порядке возрастания их роста;

б)    в порядке убывания их роста.

Напишите вместо звездочки один из знаков < , > или = так, чтобы получилось верное равенство или неравенство:

а)    206 • 602*863 117-751 869;

б)    8881-3878*1 215 729 : 243.

Упражнения для повторения.

183.    Сколько квадратов изображено на рисунке 64? Какие из них равны?

184.    А—множество рыб в озере, а В—множество карасей в этом озере. Какое множество содержит больше элементов?

185.    Выберите единичный отрезок и отметьте на луче числа:

1)    0, 20, 40, 60, 80, 100;        2) 0, 30, 60, 90, 120.

186.    Решите задачу:

1)    За 42 м льняной ткани заплатили 105 р., а за 16 м шелковой ткани заплатили 120 р. Во сколько раз цена шелковой ткани больше цены льняной?

2)    На 9 р. 75 к. купили несколько коробок шашек, по 75 к. за коробку, а на 6 р. 65 к. несколько коробок шахмат, по 95 к. за коробку. На сколько коробок купили больше шашек, чем шахмат?

187.    До реконструкции на ферме колхоза работало 60 доярок, которые обслуживали 1200 коров. После реконструкции 14 операторов стали обслуживать 1400 коров. Во сколько раз увеличилось число коров, обслуживаемых одним человеком?

188.    Решите задачу:

1)    В VIII классе 35 учеников. Среди них 27 комсомольцев, а остальные пионеры. Какую часть всех учащихся класса составляют комсомольцы и какую часть пионеры?

2)    В бригаде коммунистического труда 15 человек. Из них 8 коммунистов, а остальные комсомольцы. Какую часть бригады составляют коммунисты и какую часть комсомольцы?

189.    Решите уравнение:

1)    х: 68=144;        3) 3705 : к=57;

2)    у: 71 =196;        4) 3735 : р=83.

190.    Выполните действия:

1)    675 019+88 892 : 284-98 603;

2)    308 803-75 152 : 176+79 008.

Упражнения для домашней работы.

191.    Поставьте вместо звездочки знак < или знак >:

а)    50107*48 004;        г) 30 000*299 876;

б)    63 001*63 002;        д) 2 085 003*2 086 003;

в)    41 527*41 638;        е) 30 000 002*30 000 001.

192.    Какое число, оканчивающееся цифрой 3, больше, чем 114, и меньше, чем 133?

193.    Каким отрезкам, обозначенным на рисунке 65, принадлежит точка С и каким отрезкам не принадлежит точка В?

194.    Трусы стоят 1 р. 45 к., а майка—1 р. 25 к. Что дороже 6 трусов или 8 маек? На сколько?

195.    Один килограмм рыбы стоит 1 р. 15 к., а один килограмм колбасы стоит 1 р. 70 к. Что дешевле: 4 кг рыбы или 3 кг колбасы?

196.    Почтовый голубь должен доставить донесение на расстояние 130 км. Скорость голубя 50 км/ч. Успеет ли голубь доставить это донесение: а) за 2 ч; б) за 3 ч?

197.    Выполните действия:

а)    230 441 -(229 682-228 904 : 52);

б)    510 081-(90 334+16 536 : 212).

198.    Выполните действия:

а)    980 081+ (341 640-1263 -209);

б)    400 615-(352 203-2031 -138).

13 . Прямоугольный параллелепипед.

Спичечный коробок, кусок мыла, кирпич (рис. 66) дают представление о прямоугольном параллелепипеде ¹. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников (рис. 67). Каждый из этих прямоугольников называется гранью прямоугольного параллелепипеда. В прямоугольном параллелепипеде противоположные грани равны. Стороны прямоугольников называются ребрами прямоугольного параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения—длину, ширину и высоту (см. рис. 67). Куб—это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны между собой.

199.    На рисунке 67 изображен прямоугольный параллелепипед. Назовите:

а)    верхнюю и правую грани;

б)    ребра, равные ребру АК;

в)    вершины, принадлежащие задней грани;

г)    ребра, которые составляют границу передней грани;

д)    ребра, которые составляют границу нижней грани.

200.    Назовите (см. рис. 67):

а)    грань, равную грани ACSK∙,

б)    ребра, равные ребру ВС.

Из проволоки сделан каркас прямоугольного параллелепипеда (рис. 68). Сколько проволоки ушло на его изготовление?

Измерьте на какой-нибудь модели прямоугольного параллелепипеда длину, ширину и высоту. Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

203.    Найдите площадь поверхности куба, у которого длина ребер равна 5 см.

204.    Выполните такой чертеж, как на рисунке 68. Закрасьте красным карандашом заднюю грань параллелепипеда, а зеленым —нижнюю.

Упражнения для повторения.

205.    Сравните числа и запишите результат с помощью знака < или знака >:

1)    800 106 и 98 004;

2)    706 051 и 3 300 011;

5      ¹¹ .

3)    12 ^И 12 ’

6     ³

⁴)    й ^ий-

206.    Принадлежат ли квадрату ABCD точки Р и К (рис. 69)? Лежит ли точка М на стороне DC2 Какой стороне квадрата принадлежит точка К?

207.    Начертите отрезок АВ, длина которого 7 см, и отрезок CD, равный отрезку АВ.

208.    Решите задачу:

1)    В школу привезли 24 т угля. За зиму ' з                          '

израсходовали γ привезенного угля. Сколько угля осталось?

2)    Маляр израсходовал у купленной краски. Сколько краски осталось, если купили ее 100 кг?

209.    Выполните действия:

1)    202 000-(59 595+78 -407);

2)    603 802+(269 522-194 016 : 48).

Упражнения для домашней работы.

210 Вырежьте из плотной бумаги такую фигуру, как на рисунке 70. Перегните ее по указанным линиям и склейте модель прямоугольного параллелепипеда.

211.    Найдите площадь поверхности куба, длина ребра которого равна 11 см.

212.    Найдите площадь поверхности деревянного бруса (рис. 71).

213.    В совхозе за неделю собрали 6500 кг винограда, из них 650 кг оставили, а остальной виноград отправили в город в ящиках. Сколько ящиков винограда было отправлено в город, если в каждом ящике было 13 кг винограда?

214.    Выполните действия:

а)    28 ■ (64+137) -91;

б)    43 • (4509-3586) • 67.

14.    Переменная.

Во время движения автомобиля его скорость меняется. Стрелка спидометра показывает то 40 км/ч, то 60 км/ч, то 50 км/ч. Скорость автомобиля переменная. Можно сказать: «скорость автомобиля равна х км/ч». Переменная а? принимает значения 40, 60, 50.

215.    Рабочий в течение смены изготовлял болты трех размеров: 12 мм, 18 мм и 20 мм. Какие значения принимает переменная «длина болта»?

216.    Назовите три значения переменной:

а)    х, если х—скорость самолета в километрах в час;

б)    п, если п—число голов, забитых в ворота команды за футбольный матч.

217.    Прочитайте задачу: «Поезд шел двое суток. В первые сутки он прошел 980 км, а во вторые на х км больше. Сколько километров прошел поезд за вторые сутки?» Подставьте вместо х значение 80 и решите задачу.

218.    Прочитайте задачу: «В одном куске 72 м сатина, а в другом в у раз меньше. Сколько метров сатина в двух кусках?» Подставьте вместо переменной у значения 2 и 8. Решите получившиеся задачи.

Упражнения для повторения.

219.    Длина прямоугольного параллелепипеда 8 м, ширина 6 м, а высота 12 м. Найдите сумму площадей наибольшей и наименьшей граней.

220.    Отметьте на луче числа:

1)    200, 400, 600, 800;    2) 300, 500, 700, 900.

221.    Решите задачу:

1)    Велосипедист ехал 2 ч с некоторой скоростью. После того как он проедет еще 4 км, его путь станет равным 30 км. С какой скоростью ехал велосипедист?

2)    Мотоциклист ехал 3 ч с некоторой скоростью. Если он проедет еще 12 км, то его путь станет равным 132 км. С какой скоростью ехал мотоциклист?

Упражнения для домашней работы.

Решите задачу: «За один рейс автомашина перевозит 3 т груза. Сколько тонн груза перевезет машина за х рейсов, если х равно 10, 5, 0?»

223.    Выполните действия:

а)    7 244 844 : (6077+2934) • 507;

6)    81 ∙(235 110-876) : 39.

224.    На рисунке 72 изображен паркет. Из каких многоугольников сложен этот паркет?

15. Равенство и неравенство с переменной.

Неравенство а?<50 станет верным, если вместо х подставить число 30, и неверным, если подставить 70. Равенство у +2 = 7 станет верным, если вместо у подставить число 5, и неверным, если подставить 10.

Если в равенство (или неравенство) входит переменная, то при одних значениях переменной оно может быть верным, а при других— неверным.

225.    В таблице буква В означает «верно», а буква Н— «неверно». Заполните таблицу:

226.    Подставьте в равенство .т —3 = 8 вместо переменной х числа 3, 5, 11, 16.

Прочитайте каждое получившееся равенство и скажите, верно оно или неверно.

227.    При каких значениях переменной верно равенство:

а) x = 5941 • 198;         б) у =37 920 : 12?

Упражнения для повторения.

228.    Отметьте в тетради точку А, отступите от нее на 3 см вправо и отметьте точку В. От точки В отступите на 4 см вниз и отметьте точку С. Измерьте расстояние между точками А и С.

229.    Вычислите площадь закрашенной фигуры на рисунке 73.

230.    Равны ли фигуры на рисунке 74? Равны ли площади этих фигур? Равны ли их периметры?

Упражнения для домашней работы.

231.    Верно ли равенство:

а)    304 -505=75 068+78 452;

б)    29 792 : 49=1000-492?

232.    Найдите два значения переменной, при которых неравенство верно, и два значения, при которых оно неверно:

а)    x<206 ■ 504-208 -401;

б)    у<12 322 : 61-3328 : 32.

§    3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

16. Вычисление числовых выражений.

При решении задач иногда только обозначают действия, а выполняют их потом. Получаются записи, которые называют числовыми выражениями.

Задача. Для благоустройства двора сначала привезли 5 машин песка, а потом еще 7 машин. В каждой машине было 3 т песка. Сколько тонн песка привезли во двор?

В первый раз привезли 3 • 5 т песка, а во второй — 3 • 7 т песка. Всего привезли 3 -5+3 -7 т песка.

Для решения задачи мы составили числовое выражение 3 • 5 + 3 • 7. Если выполнить в нем действия, то получим число 36, которое

называют значением выражения. Значение выражения дает ответ на вопрос задачи: привезли 36 т песка.

Два числовых выражения могут иметь одинаковые значения. Например, 3-5 = 15 и 3 -2 + 9 = 15. В этом случае пишут:

3-5=3 -2 + 9.

Числовые выражения могут иметь и разные значения. Например, 70 : 2 = 35 и 8 • 9 = 72.

Так как 35<72, то пишут:

70 : 2<8 • 9, или 8 • 9> 70 : 2.

Для вычисления значений выражений используют известные правила порядка выполнения действия. Например, в выражении 14 + 696 : (86 — 28) сначала выполняют вычитание, затем деление и, наконец, сложение. В результате получают ответ 26. Порядок вычислений хорошо виден на схеме (рис. 75).

В каком порядке следует выполнять действия при нахождении значения выражения:

а)    850 : (291-121) + 4 • (16 + 3)-23;

б)    1000 —(14 +15) - (19 —9) +18 — 10?

234.    Составьте план нахождения значения выражения:

а)    (х + у) '■ (с-(Г);

б)    (a + b — с) ■ d - k : а.

Найдите значение выражения:

а)    81 308-308 • (8856-8649)+ 546 : 13;

б)    (52 • 390-8765-4098) • (12 280 : 40-207).

236.    Составьте выражение по схеме (рис. 76) и найдите его значение.

237.    Купили 12 ложек по 30 к. за штуку и 8 вилок по 40 к. за штуку. Какой смысл имеет следующее выражение:

а)    12 -30;       г) 40-30;

б)    8 -40; д) 12 -30 + 8 -40;

в)    12-8;       е) 12-30-8 -40?

Упражнения для повторения.

238.    Назовите в прямоугольном параллелепипеде (рис. 77):

а)    две грани, имеющие общее ребро;

6)    три грани, имеющие общую вершину.

239.    Верно или неверно неравенство:

а)    85 678 <48 • (369-78);

б)    7508+8534 > 26 038?

240.    Решите задачу:

1)    Пассажирский поезд составлен из 12 вагонов, по 58 мест в каждом. Сколько осталось свободных мест, если в поезд сели 667 человек?

2)    Зрительный зал имеет 360 мест. Сколько осталось свободных мест, после того как восемь классов, по 42 человека в каждом, заняли свои места в зале?

241.    Начертите ломаную, состоящую из трех звеньев. Постройте с помощью циркуля отрезок, длина которого равна длине ломаной.

Упражнения для домашней работы.

242 Выполните вычисления по схеме (рис. 78). Составьте выражение по схеме.

243.    Найдите значение выражения:

а)    36 366-17 366 : (200-162);

6)    85 408-408 • (201-99).

244.    Начертите прямоугольный параллелепипед. Обозначьте вершины верхней грани буквами А, В, С, D, а нижней грани— буквами М, S, К \л Р. Обведите красным карандашом ребра, выходящие из вершины А, а синим карандашом—ребра, выходящие из вершины С.

245.    Прямоугольный участок земли имеет длину 85 м, а ширину—47 м. Найдите площадь и периметр участка.

17.    Выражение с переменной.

Задача. Для благоустройства двора сначала привезли 5 машин песка, а потом еще х машин. На каждой машине было 3 т песка. Сколько тонн песка привезли во двор?

Во двор привезли 5 +а? машин песка. Так как на каждой машине было 3 т, то всего привезли песка:

3 • (5 + х) т.

Выражение 3 ■ (5 + ж) содержит переменную х. Такие выражения называют выражениями с переменной.

Если в выражение 3 • (5 + ж) вместо х подставить число 7, то получится числовое выражение 3 -(5+ 7), значение которого равно 36. Если же вместо х подставить число 9, то получится числовое выражение 3 • (5 + 9), значение которого 42:

если х = 7, то 3 ∙(5 + x) = 36j если х = 9, то 3 ∙ (5 + x) = 42.

Для решения задачи можно составить другое выражение: 3 -5 + 3 ■ х. При любом значении х оно имеет то же самое значение, что и выражение 3 • (5 +ж). Пишут:

3 • (5 + х) = 3 - 5 + 3 ■ х при всех значениях х.

В таблице приведены некоторые значения этих выражений:

246.    Решите задачу, составляя выражение:

а)    Ширина прямоугольного участка 22 м, а его длина на 4 м больше. Найдите площадь участка.

б)    Ширина прямоугольного участка 22 м, а его длина на х м больше. Найдите площадь участка.

в)    Ширина прямоугольного участка у м, а его длина на 4 м больше. Найдите площадь участка.

г)    Ширина прямоугольного участка г/ м, а его длина на х м больше. Найдите площадь участка.

247,    Расстояние между двумя городами 512 км. С какой скоростью должен идти поезд, чтобы пройти это расстояние за а ч? Составьте выражение и выполните действие при следующих значениях а: 16, 8, 4, 2.

248 Продолжительность дня а ч. Чему равна продолжительность ночи? Составьте выражение. Ответьте на вопрос задачи, если а = 8, 10, 12.

249.    Купили х л молока по 30 к. за литр и 3 л подсолнечного масла по у к. за литр. Какой смысл имеют следующие выражения:

а)    30 • х;    в) х —3;     д) 3 • г/ + 30 • х;

б)    3 • 1/;      г) 1/ — 30;     е) 3 • г/ — 30 • х?

250.    Иван Иванович отправился из дома на озеро Медвежье ловить рыбу. Три часа он ехал поездом со скоростью 75 км/ч. Потом х км шел пешком. Какой путь проделал Иван Иванович от дома до озера?

251.    Отцу х лет, а сыну у лет. Отец старше сына на 30 лет. Заполните пустые места в таблице.

Во сколько раз отец был старше сына, когда сыну был 1 год, было 5 лет, 30 лет? Во сколько раз сын был моложе отца, когда отцу было 32 года, 35 лет, 45 лет?

252.    Найдите значение выражения 1865 —а?: 27, если: а) г = 8127; б) r = 8397.

253.    Для выражений 25а? +1 и 800 : а? — 99 составьте таблицу значений при х=1, 2, 4, 5, 8. При каких из этих значений х:

а) первое выражение меньше второго; б) первое равно второму; в) первое больше второго?

Упражнения для повторения.

254.    Поставьте вместо звездочки такой знак действия, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100:

а) 4 * 25; б) 74 * 26; в) 100 * 1; г) 100 * 0.

255.    Решите задачу:

1)    В мешке 20 кг крупы; после того как из него наполнили несколько пакетов по 3 кг, в мешке осталось 5 кг. Сколько пакетов наполнили крупой?

2)    В бидоне 31 л молока. После того как из него наполнили несколько двухлитровых банок, в бидоне осталось 7 л. Сколько двухлитровых банок наполнили молоком?

256.    Являются ли линии АВ, ВС, CD и DA на рисунке 79 отрезками?

257.    Начертите круг, радиус которого равен 3 см. Разделите круг на 8 равных частей. Закрасьте зеленым цветом одну часть, а красным — три части. Какая часть круга закрашена красным цветом и какая зеленым?

Упражнения для домашней работы.

258.    Составьте выражение с переменной по условию задачи:

а)    Из шести книжных полок составлен шкаф. Высота каждой полки т см. Найдите высоту шкафа. Решите задачу, если т равно 28; 33.

6)    Бабушка подала в кассу магазина b р. за 4 банки консервов, по 72 к. за банку. Сколько копеек сдачи она должна получить?

259.    Найдите значение выражения:

а)    х+7843, если х=567;

6)    348 • к, если к=808;

в)    942-а, если а=529;

г)    4248 : т, если л? =18.

260.    Я задумал число. Если его увеличить на 15, а результат умножить на 8, то получится 160. Найдите задуманное число.

26i.    Решите уравнение:

а) 26 ∙(p+427)=15 756; б) 101 ∙ (351 + q)=65 549.

18.    Уравнение.

Задача. На левой чашке весов (рис. 80) лежат 5 одинаковых пакетов с лапшой, а на правой — 3 таких же пакета и две гири по 2 кг. Весы находятся в равновесии. Какова масса каждого пакета?

Составим уравнение по условию задачи. Пусть масса одного пакета с лапшой х кг, тогда масса 5 таких пакетов будет 5 • х кг, а 3 пакетов — 3 • х кг. Всего на правой чашке весов лежит 3 • х + 4 кг, а на левой — 5 • х кг. Так как весы находятся в равновесии, то надо найти те значения переменной, при которых верно равенство:

5    • х = 3 • х + 4.

Мы составили уравнение. Чтобы его решить, снимем с обеих чашек весов по 3 пакета лапши. Тогда на левой чашке весов останутся 2 пакета, а на правой—две гири по 2 кг. При этом весы останутся в равновесии. Ясно, что масса каждого пакета 2 кг. Значит, равенство 5 • х = 3 • х + 4 верно только при х = 2.

Равенство с переменной называют уравнением. Каждое значение переменной, при котором получается верное равенство, называют корнем уравнения.

Решить уравнение—это значит найти все его корни, то есть множество его корней.

Уравнение 5 ∙x = 3 ∙r + 4 имеет только один корень— число 2.

Уравнение (х —1)∙(3 — х) = О имеет два корня—число 1 и число 3, так как верны равенства (1 — 1) ∙(3-1)=0 и (3 — 1) ∙(3-3) = 0. Других корней это уравнение не имеет. Множество его корней {1; 3}.

Уравнение 2 + х = х + 2 имеет бесконечно много корней, так как при любом значении переменной х получается верное равенство. Множество его корней состоит из всех чисел.

Уравнение 7 + а? = а? не имеет ни одного корня. Множество его корней—пустое.

262.    Является ли число 6 корнем уравнения 36—а = 24+а?

263.    Испытайте числа 0, 1, 2 и 3, подставляя их в уравнение y+y=y∙ у. Есть ли среди этих чисел корни уравнения?

264.    Решите уравнение:

а)    (с-111) • 59 = 11 918; в) (30 901-6) : 605 = 51;

б)    975 ∙ (α-459) = 12 675; г) 39 765 : (с -893) = 1205.

265.    Среди чисел 2, 3, 4, 5, 6 найдите корни уравнения (6-х) ∙ (x-2) = 0.

266.    Всякое ли число является корнем уравнения:

а)    0 • у = 0;          в) 8 ∙ α = а • 8;

б)    7 • х = 7;        г) 9+6-А = 9?

267.    Имеет ли хоть один корень уравнение:

а)    х+16 = 12;       в) х + 2 = 4;

б)    х+12 = 16;       г) х-х + 3 = 0?

268.    Периметр восьмиугольника 24 см (рис. 81). Составьте уравнение и решите его. Что означает корень этого уравнения?

269.    Составьте уравнение по рисунку 82 и найдите массу одного пакета муки.

270.    Решите с помощью уравнения задачу:

а)    В корзине было несколько грибов. После того как из корзины вынули 10 грибов, а затем в нее положили 14 грибов, в ней стало 85 грибов. Сколько грибов было в корзине?

б)    У мальчика было 16 к. После того как ему дали еще несколько копеек, он израсходовал 23 к. В результате у него осталось 19 к. Сколько копеек дали мальчику?

в)    Из двух сел вышли навстречу друг ДРУГУ Д^ва пешехода и встретились через 4 ч. Расстояние между селами 36 км. Скорость одного пешехода 4 км/ч. Найдите скорость второго пешехода.

Упражнения для повторения.

271.    Урожай яблок составил л т, а груш — 8 т. На сколько тонн урожай яблок больше, чем урожай груш, если л = 16; 24?

272.    У Гали 40 книг, а у Веры х книг. На сколько книг у Гали больше, чем у Веры? Во сколько раз у Веры меньше книг, чем у Гали? Найдите значения выражений, если х=20, 10, 5.

273.    Содержание одного ребенка в год в детском саду обходится в 474 р. Из них родители вносят 108 р. Остальное составляет государственную дотацию. Сколько рублей расходует государство за 3 года на содержание группы, состоящей из 25 детей?

274.    В 1970 г. в СССР добыто угля 624 млн. т, а в США— 556 млн. т; в 1974 г. в СССР—684 млн. т, а в США— 541 млн. т. Как изменилась добыча угля в каждой стране?

275.    Найдите значение х по рисунку 83.

276.    Выполните действия:

1)    299 880 : (195+435) : 17;

2)    162 540 : (100 236-99 978) : 63.

Упражнения для домашней работы.

277.    Есть ли среди чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6 корень уравнения у • 3+80=92?

278.    Найдите значение выражения у: 19-95, если y=5719. Является ли число 5719 корнем уравнения у: 19-95=206?

279.    Машина шла х ч со скоростью 60 км/ч и 2 ч со скоростью 50 км/ч. Сколько километров прошла машина? Составьте выражение для пути и найдите его значение, если х=4; 5.

280.    Выполните действия:

а)    362 978+409 (75+1236);

б)    90 002-(7207-6902) -209.

281.    Решите уравнение:

а) 22 374 : (х-125)=1243; б) 38 007 : (4223-y)=9.

282.    Периметр треугольника АВС равен 62 см, ∣6C∣=12 см; |ДВ|=|СД|. Найдите длину стороны АВ.

19.    Неравенство.

Задача. На левой чашке весов (рис. 84) стоит п пакетов по 3 кг, а на правой чашке — гири, масса которых 18 кг. Сколько пакетов может быть на левой чашке, если правая чашка перетягивает левую?

Масса груза на левой чашке 3 • п кг. Она меньше 18 кг, так как правая чашка перетягивает левую: 3 ■ n<18.

Если вместо переменной в неравенство 3 ∙ n<18 подставить число 5, то получится верное неравенство 3 -5 <18. Число 5 называют решением неравенства 3 ∙ n<18. Оно служит одним из ответов задачи. Слово «решение» здесь обозначает число, а не действие, которое надо выполнить, чтобы получить ответ задачи. Если вместо п подставить число 10, то получится неверное неравенство 3 ∙ 10<18. Число 10 не является решением неравенства 3 ∙ n<18. Значит, слева может быть 5 пакетов, а 10 пакетов не может быть.

Значение переменной, при котором неравенство верно, называют решением неравенства.

Например, число — есть решение неравенства х<1, так как неравенство ψ<l верно.

Решить неравенство—значит найти все его решения, то есть множество его решений.

Множество натуральных решений неравенства 3 ∙ n<18 состоит из чисел 1, 2, 3, 4 и 5.

283.    Какие из чисел 33, 80, 128 и ^rl являются решениями неравенства   х —3<100

(рис. 85)?

284.    Испытайте числа 81, 18, 79, 32, 57 и 80. Какие из них являются решениями неравенства 81 —х>4, а какие не являются?

285.    Найдите 2 натуральных и 2 дробных решения неравенства: а) г/< 5; б) х>0.

286.    Найдите все натуральные решения неравенства:

а)    п<3;        в) 6<8;

б)    7> р;        г) р<1.

Отметьте решения на луче.

287.    Какое из множеств {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 5, 6} служит множеством натуральных решений неравенства х<4?

288.    Напишите неравенства, имеющие множество натуральных решений: а) {1, 2, 3, 4}; б) {1}.

289.    Найдите все натуральные решения неравенства, перебирая по порядку натуральные числа:

а) х + 3<11; б) 10 —р>5.

290.    В магазине продают конфеты, по 3 к. за штуку. У мальчика имеется 20 к. Сколько конфет он может купить? Напишите множество чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Упражнения для повторения.

291.    Подставьте по очереди в уравнение 360 : х-16=20 вместо переменной числа 1, 5, 10, 15 и 20. При каких значениях получается верное равенство и при каких неверное? Какое из этих чисел является корнем уравнения?

292.    Заполните пустые места в таблице:

При каком значении т значение выражения 24 ■ ш-12 равно 84? Есть ли среди чисел 1, 2, 3, 4 и 5 корень уравнения 24 ∙ m-12=84?

293.    Обозначьте буквой т массу одного батона хлеба (рис. 86). Составьте уравнение и решите его.

294.    Выполните действия:

1)    59 993+616 528 : (21 851-21 763);

2)    68 080-(33 333-1609) : 77;

3)    705 (77 719-69 713)+1 121 394;

4)    (59 531-58 926) • 6004-1 221 485.

Упражнения для домашней работы.

295.    Является ли число 6 решением неравенства: а)15+х>40;  г) 18-х<5;

б)    2+у<96;    д) х+х<20;

в)    18 : у > 1; е) 0 : х> 5?

296.    Найдите множество натуральных решений неравенства:

а)    х<9;        в) т<7;

б)    а<2;        О к<4.

Отметьте решения на луче.

297.    Из проволоки длиной 15 м делают обручи длиной 2 м. На сколько обручей хватит проволоки? Можно ли изготовить 4 обруча, 8 обручей?

298.    Длина прямоугольника 1 м 25 см, а ширина в 5 раз меньше. Найдите длину стороны квадрата, периметр которого равен периметру этого прямоугольника.

299.    Выполните действия:

353 805 : (37 583-37 068)+68 739.

20.    Площади.

Для измерения площадей пользуются следующими единицами площади: квадратным миллиметром, квадратным сантиметром, квадратным дециметром, квадратным метром, квадратным километром. Например, квадратный метр—это площадь квадрата со стороной 1 м. Названные единицы площади обозначают так: мм², см², дм², м², км². Мы знаем, что в 1 дм² содержится 100 см². Значит, 1 см² сос-гавляет — дм²

1 дм² = 100 см², 1 cm²= γ^ дм².

Площади небольших участков земли измеряют в арах (сотках). Один ар (1 а) — это площадь квадрата со стороной 10 м. Такой квадрат можно разбить на 10 -10 = 100 квадратов со стороной 1 м. Поэтому

1 а = 100 м².

Площади полей измеряют в гектарах (га). Один гектар — это площадь квадрата со стороной 100 м. Такой квадрат можно разбить на 100 -100 = 10 000 квадратов со стороной 1 м. Поэтому

1 га = 10 000 м².

Так как 10 000 : 100 = 100, то

1 ra=100 а.

Поля больших колхозов и совхозов имеют площадь в несколько десятков или сотен тысяч гектаров. Их площадь измеряют в квадратных километрах:

1 км² = 100 га.

300.    Какие из фигур на рисунке 87 равны? Какие из них имеют равные площади? Какие имеют равные периметры?

301.    На рисунке 88 изображены 2 огорода. На каждый квадратный метр нужно 38 г удобрений. Сколько удобрений потребуется на каждый из этих огородов?

302.    Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 89.

303.    Какую часть 1 ара составляет 1 м²? Какую часть 1 гектара составляет 1 м², 1 а? Сколько аров в 1 км²? Сколько квадратных метров в 1 км²?

304.    Выразите:

а)    в квадратных метрах 5 га; 3 га 18 а; 247 а; 16 а; ‘

б)    в гектарах 42 000 м²; 36 000 а;

в)    в арах 43 га; 4 га 5 а; 30 700 м²;

г)    в гектарах и арах 930 а; 45 700 м².

305.    Длина футбольного поля 100 м, а ширина 75 м. Найдите площадь футбольного поля и сравните ее с 1 га.

306.    Пол покрасили масляной краской 2 раза. В первый раз на каждый квадратный метр пола пошло 125 г краски, а во второй — 75 г. Сколько израсходовали краски, если длина комнаты 6 м, а ширина 5 м?

307.    Железный бак без крышки (рис. 90) покрасили изнутри и снаружи масляной краской. Сколько понадобилось краски, если на окраску 1 дм² ушло 2 г краски?

Упражнения для повторения.

308.    Какое из множеств {1, 2, 3, 4, 5} и {1, 2, 3} является множеством натуральных решений неравенства у < 6?

309.    Найдите натуральные решения неравенства:

а) y+2<11; б) 8> х+3.

310.    Во всем мире более 40 млн. пчелиных семей. Более четверти их приходится на Советский Союз. Верно ли, что число пчелиных семей в Советском Союзе более 10 млн.?

311.    Автомобиль за три дня проехал 980 км. За первые два дня он проехал 725 км. Сколько километров проезжал автомобиль в каждый из этих дней, если во второй день он проехал больше, чем в третий день, на 123 км?

312.    Решите задачу:

1)    Из 30 к. Катя израсходовала в буфете 20 к. Какую часть денег израсходовала в буфете Катя?

2)    Из 40 лебедей, которые плавали на пруду, 30 были белыми. Какую часть всех лебедей составляли белые лебеди?

313.    Выполните действия:

1)    767 520 : 4 : 15 : 123;    3) 319 488 : 96 : 16 • 505;

2)    312 • 9520 : 68 : 7;        4) 101 376 : 48 : 24 : 8.

Упражнения для домашней работы.

314.    Начертите прямоугольник со сторонами 5 см и 6 см, разделите его на два треугольника. Найдите площадь каждого треугольника.

315.    Рабочим выделили для садовых участков 3 га земли. Сколько рабочих получили участки, если каждому дали 6 а?

316.    Пионеры трех отрядов собрали 240 кг семян растений. Первый отряд собрал 87 кг, а первый и второй отряды вместе собрали 174 кг. Сколько килограммов семян собрал второй отряд и сколько собрал третий?

317.    Для каких из неравенств 6+x<12,  12+x<45,

4 • х> 100, х: 4> 6 число 28 является решением?

318.    Найдите значение выражений и укажите, в какой из ящиков, показанных на рисунке 91, надо их поместить:

60 014-14 -2675 : 25 -40; (60 014-14) -2675 : 25 -40;

5 • 25+3500 : 4.

21. Знаки ≤ и ⅛ .

Кроме знаков неравенства < и > , применяются еще знаки ≤ («меньше или равно») π≥ («больше или равно»). Например, верны неравенства 3≤5, 8≤8, 9≥6, 7≥7. Неравенство 5≤4 неверно, так как 5 не меньше, чем 4, и не равно четырем.

Множество натуральных решений неравенства х<6 состоит из чисел 1, 2, 3, 4, 5.

Если же в этом неравенстве заменить знак < знаком ≤, то получится другое неравенство: x≤6. Множество его натуральных решений состоит из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Число 6 является решением неравенства x≤6, но не является решением неравенства х<6.

319.    Верно ли неравенство:

а)    75<75;         г) 215>90;

б)    84>84;         д) 42≤41j

в)    90≤215j        е) 0>3?

320.    Какие из чисел 1, 4, 10, 15 являются

решениями неравенства:

а) x≤4           б) г/>10?

321.    Отметьте на луче все натуральные решения неравенства:

а) у<9; б) у^9.

322.    Найдите натуральные решения неравенства:

а)    т<10; в) α≤8j д) т<0;

б)    c≤125 г) 6<13; е) т^О.

323.    Сколько натуральных решений имеет неравенство:

а)    г/<69; в) ж<100;

б)    ^69; г) 3J≤1007

324.    Напишите множество натуральных решений неравенства х<4. Какое неравенство со знаком ≤ имеет то же множество натуральных решений?

325.    Напишите множество натуральных решений неравенства τ≤8. Какое неравенство со знаком < имеет то же множество натуральных решений?

326.    Напишите два неравенства, каждое из которых имеет множество натуральных решений {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Упражнения для повторения.

327.    Заполните пустые места в таблице:

328.    По рисунку 92 найдите площади треугольников АВС, ACD, АВО, ВСО.

329.    Достройте треугольник АВС на рисунке 93 до прямоугольника. Найдите площадь треугольника АВС.

330.    Составьте задачу, решением которой было бы выражение:

а) 64-15-38; б) 18 • (20-11).

331.    Точка В лежит на отрезке АС. Равен ли отрезок АС отрезку DE, если |ДВ|=7 см, ∣BC∣=3 см, ∣DE∣=10 см?

332.    На рисунке 94 изображена шахматная доска. Какую часть доски составляет:

а)    один ряд клеток;    в) одна клетка;

б)    три ряда клеток;    г) семь клеток?

Упражнения для домашней работы.

333.    Отметьте на луче все натуральные решения неравенства:

а) х<8; б) x≤8.

334.    Найдите натуральные решения неравенства:

а)    x≤2j        в) а<1;

б)    х<2;        г) a≤1.

335. Какие из квадратов на рисунке 95 равны?

336. Участок в 1260 га засеяли озимой пшеницей вместо яровой и собрали по 28 ц зерна с гектара. Урожайность яровой пшеницы была 18 ц. Какую прибавку зерна получили со всей площади?

337.    Найдите значение выражения:

а)    8060 • 45-45 150 : 75 • 105;

б)    (1 254 175+94 637) : 414-1329.

Разрежем пирог на 8 равных частей и 3 части положим на тарелку. На ней будет -у пирога. Если положить все 8 частей, то на тарелке будет у пирога. Возьмем еще один такой же пирог и разрежем его тоже на 8 равных частей, тогда на тарелку можно положить, например, 11 частей. Там будет у пирога.

з

В дроби у числитель меньше знаменателя. Такие дроби называют правильными. В дробях у и у числитель больше знаменателя или равен ему. Такие дроби называют неправильными.

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью.

Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называется неправильной дробью.

Дробь -у правильная, если a<b, и неправильная, если а> Ь.

Правильная дробь меньше 1, а неправильная дробь— больше или равна 1.

Например,

4            7             4

У<1,  у>1, у = 1 (рис. 96).

338.    Длина отрезка АВ равна 4 см. Начертите отрезок, длина которого равна:

а) -γ длины отрезка АВ; б) ■=- длины отрезка АВ.

343. При каких значениях х дробь - будет правильной?

348.    Тигр—самая большая кошка на Земле. Еще в 1930 году во всем мире насчитывалось 100 тыс. тигров. Теперь осталось их лишь ^ этого числа. Сколько тигров теперь на земном шаре?

349.    Какая часть четырехугольника ABCD (рис. 97) закрашена? Какая часть осталась незакрашенной?

350.    От каждой коровы в совхозе получено за год в среднем 5274 кг молока. Себестоимость центнера молока снизилась с 18 р. до 17 р. 32 к. Какую прибыль от снижения себестоимости получил совхоз, имеющий 2800 коров?

351.    Выполните действия:

1)    90 720 : (207 : 23 -840);

2)    22 624 : 56 -(816:8).

Упражнения для домашней работы.

352.    Придумайте 5 дробей, у которых числитель на 3 меньше знаменателя. Запишите 5 дробей, у которых знаменатель в 3 раза больше числителя.

353.    Напишите все значения х, при которых дробь у будет неправильной.

354.    Отряд решил собрать 12 т металлолома, а собрал ~ этого количества. Сколько тонн металлолома собрал отряд?

355.    В школе 3 первых класса, по 42 ученика в каждом. Для них были куплены буквари, упакованные в 5 пачек, по 26 книг в пачке. Хватит ли этих букварей для всех учеников?

356.    Выполните действия:

74 263 : 721 : (721 : 7).

23.    Объемы.

Для измерения объемов применяют следующие единицы объемов: кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр, кубический километр. Например, кубический сантиметр — это объем куба с ребром в 1 см (рис. 98). Названные единицы объема обозначают так: мм³, см³, дм³, м³, км³.

Фигура на рисунке 99 состоит из 4 кубиков с ребром в 1 см, значит, ее объем равен 4 см³. Литровая кружка вмещает 1 дм³ жидкости (рис. 100). Масса 1 литра воды равна 1000 г, то есть 1 кг.

Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры (рис. 101). Найдите объемы этих фигур. Есть ли среди этих фигур равные?

358.    Найдите площади поверхностей фигур А, В и С (см. рис. 101).

359.    Найдите объемы фигур, изображенных на рисунке 102 (длина ребра каждого кубика равна 1 см).

Упражнения для повторения.

361.    Решите уравнение:

1)    х: 16=3744+1256;

2)    у: 24=2456+2544;

3)    8700 : /=1400-1375;

4)    6800 : x=3710-3685.

362.    Найдите множество значений х, при которых дробь ^ будет правильной, а γ— неправильной.

363.    Назовите 3 правильные дроби, знаменатель которых больше 100. Назовите 3 неправильные дроби, знаменатель которых больше 200.

Упражнения для домашней работы.

364.    Найдите объемы фигур, изображенных на рисунке 103. Объем каждого кубика равен 1 см³.

365.    Велосипедист ехал а ч со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние проехал велосипедист за это время? Составьте таблицу значений полученного выражения, если множество значений переменной а есть {1, 2, 3, 4, 5}.

366.    Найдите значение выражения 703 • 428 : (2568 : 6).

24.    Двойное неравенство.

На одной чашке весов лежат х дынь по 1 кг. Они имеют массу х кг. Если на другую чашку весов поставить гирю в 5 кг, то дыни перетянут ее (рис. 104). Значит, 5 кг меньше, чем х кг:

5 < х.

Если же на другую чашку весов поставить две гири по 5 кг (10 кг), то они перетянут дыни (рис. 105). Значит, х кг меньше 10 кг:

а? < 10.

Число дынь является решением как первого, так и второго неравенства: 5 <х и х< 10. Вместо двух неравенств 5 <х и ж<10 пишут одно двойное неравенство: 5 <x<10. Его читают так: «х больше пяти и меньше десяти».

Поэтому на чашке весов могло быть 6,7,8 или 9 дынь (по одному килограмму).

Множеством натуральных решений неравенства 5 < х < 10 является {6, 7, 8, 9}. Неравенство 0 < г/ < 1 не имеет ни одного натурального решения, но любая правильная дробь является его решением. Например, γ—решение этого неравенства, так как верны оба неравенства 0 < ~ и ~ <1, то есть 0<~<l.

Число 4 не является решением неравенства 4 <х<1, но принадлежит множеству решений неравенства 4≤x≤7.

367.    Отметьте на луче все натуральные решения двойного неравенства:

а) 3<т<11; б) l<α<13.

368.    Запишите с помощью фигурных скобок множество натуральных решений двойного неравенства:

а) 21<х<27; б) 99<τ∕<101.

369.    На весы положены одинаковые кирпичи (рис. 106). Масса каждого из них—целое число килограммов. Какова масса каждого кирпича?

Нумерация

1. Реши задачу.

2. Запиши числа, которые содержат:

3.1. Заполни таблицу.

3.2. Сколько единиц каждого разряда в числах:

4. Реши примеры

5. Реши устно.

6. Реши задачу.

7. Вычисли

8. Реши задачу.

9. Заполни таблицу.

Сложение, вычитание, умножение, деление

11.В каком порядке надо решить примеры?

12.Вычисли значение выражения

13. Реши задачу.

14. Реши задачу.

15. Заполни таблицы:

16. Реши уравнения

17. Вычисли и выполни проверку.

18. Реши задачу.

19. Реши задачу.

20. Реши уравнения

21Вычисли значение выражения

23.Сложи или вычти числа в столбик и выполни проверку.

25. Реши задачу.

26. Сложи или вычти.

27.Реши примеры.

29. Вычисли и выполни проверку.

30. Реши задачу.

32. Реши задачу.

33. Реши уравнение

35Реши примеры.

37. Объясни вычисления

38. Запиши примеры столбиком и вычисли

39. Реши задачу, составив выражение.

40. Реши задачу.

42. Вычисли и проверь

43.Вычисли значение выражения

44. Вычисли с перестановкой

45. Реши задачу.

46. Вычисли и объясни.

47. Реши задачу.

49. Реши задачу.

52. Вычисли и проверь

53Вычисли значение выражения

54. Как разделить 456 на 4. Объясни деление и проверь результат умножением

55. Выполни деление

56. Реши задачу.

57. Реши задачу.

59.Вычисли значение выражения

60. Выполни деление и объясни результат

62. Реши задачу.

63. Заполни таблицу.

64. Реши уравнения

66.Вычисли значение выражения

68. Как разделить 369 на 3?

69. Запиши примеры столбиком и вычисли

70. Реши задачу.

71. Реши задачу.

72. Вычисли и проверь

74. Подели и выполни проверку

75. Реши задачу.

76. Реши задачу.

78. Запиши примеры столбиком и вычисли

79.Вычисли значение выражения

Что узнали и чему научились (стр. 18)

1.Вычисли значение выражения

2. Реши примеры.

4. Реши примеры.

5. Вычисли и проверь

6. Вычисли и проверь

7. Вычисли и проверь

12.Вычисли значение выражения

2.Преобразуй величины.

3.Сложи или вычти числа в столбик и выполни проверку.

Нумерация. Числа больше 1000.

84. Сколько единиц каждого разряда в числах:

85. Что обозначают одинаковые цифры в числах:

88. Реши задачу.

89. Вычисли и проверь

90. Заполни таблицу.

93. Реши задачу.

94. Сколько единиц каждого разряда в числах:

5. Вычисли и проверь

96. Вычисли и проверь

99. Вычисли и проверь

103. Реши задачу, составив уравнение.

104. Реши задачу, составив уравнение.

106. Реши задачу, составив уравнение.

113. Реши задачу.

122. Реши задачу.

129. Реши уравнения.

136.1. Заполни таблицу.

136.2. Заполни таблицу.

142. Реши уравнения

145. Вычисли и проверь

Что узнали и чему научились (стр. 34)

12. Вычисли и проверь

Величины. Единицы длины

148. Какую единицу измерения вы бы использовали для измерения длины ванны?

149. Флагшток во дворе школы 12 метров. Но школа решила изменить на более высокий флагшток высотой 14 метров. Насколько выше новый флагшток?

150. Определи длину отрезков на глаз. Чтобы проверить себя, измерь их длину и запиши результаты в мм.

151. Единицы длины

152. Переведи единицы длины и заполни пропуски.

153.1. Составь задачу, чтобы она соответствовала рисунку и реши её.

153.2. Измени задачу так, чтобы она соответствовала рисунку и реши.

154. Реши примеры.

155. Расположи числа 498, 506, 514, 490, 482, 522 в порядке их увеличения. Рассчитай правило, по которому составлен ряд. Добавь ещё 3 числа.

156 Какие единицы измерения используют при следующих измерениях:

157. Здание мэрии 16 м высотой. На вершине здания есть флагшток 2 м. Каково расстояние между вершиной флагштока и землей?

158. Расстояние между входом в школу и библиотекой 4,5 м и расстояние от входа в школу до школьный кабинет составляет 288 см. Вход в школу ближе в библиотеку или школьный офис?

160.Заполни пропуски.

161. Выполни деление с остатком и проверку.

162.Реши задачу.

163. Выполни деление и проверку.

164.Реши задачу.

Единицы площади

166 Реши задачу.

170. Вырази:

171. Реши задачу.

172. Реши примеры.

173. Выполни деление с остатком.

178. Единицы длины

179. Вырази:

181. Сравни величины

182. Реши задачу.

183 Реши.

185. Реши задачу.

186. Добавление измерений:

187. Реши уравнения.

189. Вычитание измерений:

192. Разделение однозначных целых чисел: если у вас есть 4 конфеты, разделенных равномерно на 2 сумки, сколько конфет в каждой сумке?

193. Разделение двузначных целых чисел: если у вас есть 80 билетов на ярмарку, и каждая поездка стоит 5 билетов, сколько поездок вы можете продолжить?

194. Разделение чисел Заканчивается на 0: у школы есть 20 000 долларов на покупку нового компьютерного оборудования. Если каждая единица оборудования стоит 50 долларов, сколько штук может купить школа?

195. Реши примеры.