Сложение многочленов

Ранее мы познакомились с понятием многочлена. Теперь научимся с многочленами работать. Это умение пригодится при решении сложных уравнений и других математических задач.

Вспомним определение: многочлен – это сумма одночленов!
Значит, чтобы сложить многочлены надо записать их как один многочлен, сохраняя знаки исходные членов.

Но, пока не наработан навык, будем складывать по определенному правилу:
1. Записываем многочлены в скобках и ставим между ними знаки "+".
2. Переписываем без скобок. Если в скобках у первого члена многочлена стоит знак минус, мы его пишем вместо плюса, который стоял перед скобкой. Остальные члены многочлена переписываем, сохраняя знаки.
3. Приводим получившийся многочлен к стандартному виду.

Примеры.
1) Сложить многочлены: a³ + 2b + с и а² + 2b - 1.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках и поставим между скобками знак плюс:
(а³ + 2b + с) + (а² + 2b - 1).
2. Раскроим скобки: a³ + 2b + с + а² + 2b - 1.
3. Сложим все, что складывается (привести подобные):
a³ + 2b + с + а² + 2b - 1 = а³ + 4b + с + а² - 1.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: a³ + а²+ 4b + с - 1.

2) Сложить многочлены: a³ + 2b + с и -а² + 2b - 1.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках и поставим между скобками знак плюс:
(а³ + 2b + с) + (-а² + 2b - 1).
2. Раскроим скобки: a³ + 2b + с - а² + 2b - 1.
3. Сложим все, что складывается (привести подобные):
a³ + 2b + с - а² + 2b - 1 = а³ + 4b + с - а² - 1.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: a³ - а²+ 4b + с - 1.

Вычитание многочленов

Как при сложении, сначала записываем многочлены в скобках, но между скобками ставим знак "-". Просто убрать скобки, не получится. Нужно поменять знаки членов многочлена на противоположные. Это очень важно помнить, поскольку поможет избежать многих ошибок.

Попробуем решить пример 2 - (1 + 1). Сначала выполняем действия в скобках, потом – вычитание, получим ответ 0. Если просто убрать скобки, ответ будет 2. Если поменять знаки, ответ будет правильный 0.

Примеры.
1) Из многочлена а³b + 2ac - 5 вычесть многочлен 2a³b + ас + 5.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках и поставим между скобками знак минус:
(а³b + 2ac - 5) - (2a³b + ac + 5).
2. Раскроим скобки: а³b + 2ac - 5 - 2а³b - ac - 5.
3. Сложим все, что складывается (привести подобные):
а³b + 2ac - 5 - 2а³b - ac - 5 = -а³b + ac - 10.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: -а³b + ac - 10.

2) Из многочлена a³b + 2ac - 5 вычесть многочлен -2a³b + ас + 5.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках и поставим между скобками знак минус:
(а³b + 2ac - 5) - (-2a³b + ac + 5).
2. Раскроим скобки: а³b + 2ac - 5 + 2а³b - ac - 5.
Обратите внимание, первый минус в вычитаемом поменялся на плюс! (Всегда внимательно смотрим: где ставить плюс, где – минус? Знак перед скобкой накладывается на знак в скобке: плюс на плюс дает плюс, плюс на минус дает минус, минус на минус дает плюс.)
3. Сложим все, что складывается (привести подобные):
а³b + 2ac - 5 + 2a³b - ac - 5 = 3a³b + ac - 10.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: 3a³b + ac - 10.

Методы сложения и вычитания многочленов очень похожи, только при вычитании меняются знаки. Поэтому эти действия объединили в одно правило.

Чтобы найти алгебраическую сумму многочленов надо записать их в скобках и расставить знаки. Потом раскрыть скобки следующим образом: если перед скобкой стоит знак плюс, то знаки членов многочлена не меняются, если перед скобкой стоит знак минус, то знаки членов многочлена меняются на противоположные.

Пример.
Найдите алгебраическую сумму многочленов: А + В – С, где:
А = а²b + аb + 4;
В = -5a²b + 6ab - 5;
С = -4a²b + 3ab + 8.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках: (а²b + аb + 4) + (-5a²b + 6ab - 5) - (-4a²b + 3ab + 8).
2. Раскроим скобки: а²b + аb + 4 - 5a²b + 6ab - 5 + 4a²b - 3ab - 8.
3. Приведем подобные:
а²b + аb + 4 - 5a²b + 6ab - 5 + 4a²b - 3ab - 8 = 4ab – 9.
4. И запишем в стандартном виде: 4ab – 9.
Обратите внимание, что исчезли некоторые члены многочленов.
Действительно а²b - 5a²b + 4a²b = 0.
В таких случаях принято говорить, что a²b, 5a²b, 4a²b взаимно уничтожились.

Примеры для самостоятельного решения

Найти алгебраическую сумму многочленов А – В + С, где:
1) А = х²у + 2ху² - 3;
В = - 5х²у + 3ху + 6;
С = 2х²у - 3ху + 6.

2) А = – 4х²у + ху – 8;
В = 6х²у + 8ху + у;
С = – 3ху + х.

3) А = ху² – 7ху – х;
В = 9ху² + ху + 6;
С = 5ху² + 8ху + х.

Ответы на задания



Ответы на задания
1) 8х²у + 2ху²– 6ху – 3.
2) – 10х²у – 10ху – у + х – 8.
3) - 3xy² - 6.