Алгебра – 10 класс. Предел функции в точке
Урок на тему: "Предел функции в точке"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать: Предел функции в точке (PDF)
Что будем изучать:
1. Что такое предел функции в точке.
2. Определение непрерывной функции.
3. Обобщение знаний о непрерывных функциях.
4. Свойства предела.
5. Примеры.
1) Что такое предел функции в точке?
Ребята, давайте посмотрим на три графика функции, приведенные ниже:
На первый взгляд, графики выглядят совершенно одинаково, но давайте внимательнее посмотрим на наши графики. Посмотрим внимательно на значения функции y=f(x) в точке а.
На Рис1. изображен график непрерывной функции. Значение нашей функции в точке a f(a)=b.
На Рис2. изображен график с так называемой выколотой точкой, значения нашей функции в точке а не существует, посмотрите внимательно на график, наше значение как будто взяли и выкололи.
На Рис3. изображен график значение, которого в точке а существует, но где то отдельно от всего графика, f(a) – расположена выше нашего графика.
На наших рисунках изображены графики трех разных функций. Если мы не будем рассматривать точку а, то графики функций совпадают. При x<а и x>а графики совершенно одинаковые.
Все случаи описанные для наших рисунков, на математическом языке записывается как:
Читается как: предел функции y=f(x) при x стремящимся к а равен b.
Теперь давайте постараемся понять, что же написано выше. Если значения аргумента функции y=f(x) подбирать все ближе к числу а (если из а вычитать подобранные значения аргумента, то результатом будет число практически равное нулю), то соответствующие значения функции будут все ближе и ближе к b (если из b вычитать полученные значения функции, то результатом будет число практически равное нулю). При этом стоит заметить, что саму точку а не учитываем.
Посмотрим опять на первый график:
Можно заметить что:
График функции на нашем рисунке непрерывен. Тогда, давайте напишем определение непрерывной функции:
Определение непрерывной функции.
Определение. Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если выполняется тождество:
Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если предел функции при x стремящимся к а, равен значению функции в точке x=a.
Функция непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке нашего отрезка.
Обобщение знаний о непрерывных функциях.
Полезно: В курсе высшей математики или математическом анализе, существует ряд теорем и утверждений которые доказывают, что все функции, которые мы с вами рассматривали в ранних курсах алгебры являются непрерывными, мы с вами интуитивно и с помощью графиков понимали, что функция непрерывна. Давайте обобщим изученное, важным утверждением:
Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных и тригонометрических выражений, то функция y=f(x) непрерывна в любой точке, в которой определенно выражение f(x).
Свойства функции
Если f(x)=b a g(x)=c то выполняются следующие свойства:
Примеры:
А) Найти предел функции:
Решение: Наша функция непрерывна в точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности функции в точке, которое говорит что если функция непрерывна в точке, то предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке.
Б) Найти предел функции:
Решение:Давайте посмотрим не обращается ли знаменатель нашей функции при x=π/2 в нуль:
Знаменатель не равен нулю, тогда наша функция непрерывна в точке . Воспользуемся определением непрерывной функции и посчитаем предел нашей функции:
Ответ: -1/3
В) Найти предел функции:
Подставим x=2 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте внимательно посмотрим на числитель нашей дроби.
x2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Сократим нашу дробь
Тогда получаем:
y= x+2 непрерывна точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности
Ответ: 4
Г)Найти предел функции:
Решение:Область определения функции
Наша точка x=2 не попадает в область определения, тогда предел функции не существует.
Ответ: Не существует.
Д) Найти предел функции:
Решение:
Подставим x=1 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте найдем корни квадратного уравнения в числители и воспользуемся теоремой Виета.
Ответ: -1
Е) Построить график функции y=f(x), которая обладает следующими свойствами:
1)Область определения – множество действительных чисел.
2)lim f(x)=3
3) f(2)=4
4) f(x)<0 при x<0
Решение:
Покажем один из возможных графиков.
Примеры для самостоятельного решения:
1) Найти предел функции:
2) Найти предел функции:
3) Найти предел функции:
4) Найти предел функции:
5)Построить график функции y=f(x), которая обладает следующими свойствами:
а)Область определения – множество действительных чисел.
б)
в) f(-2)=3
г) f(x)<0 при x<-1
д) f(x)>0 при x>-1