Что будем изучать:

1. Что такое предел функции в точке.
2. Определение непрерывной функции.
3. Обобщение знаний о непрерывных функциях.
4. Свойства предела.
5. Примеры.

1) Что такое предел функции в точке?

Ребята, давайте посмотрим на три графика функции, приведенные ниже:

На первый взгляд, графики выглядят совершенно одинаково, но давайте внимательнее посмотрим на наши графики. Посмотрим внимательно на значения функции y=f(x) в точке а.

На Рис1. изображен график непрерывной функции. Значение нашей функции в точке a f(a)=b.

На Рис2. изображен график с так называемой выколотой точкой, значения нашей функции в точке а не существует, посмотрите внимательно на график, наше значение как будто взяли и выкололи.

На Рис3. изображен график значение, которого в точке а существует, но где то отдельно от всего графика, f(a) – расположена выше нашего графика.

На наших рисунках изображены графики трех разных функций. Если мы не будем рассматривать точку а, то графики функций совпадают. При x<а и x>а графики совершенно одинаковые.

Все случаи описанные для наших рисунков, на математическом языке записывается как:

Читается как: предел функции y=f(x) при x стремящимся к а равен b.

Теперь давайте постараемся понять, что же написано выше. Если значения аргумента функции y=f(x) подбирать все ближе к числу а (если из а вычитать подобранные значения аргумента, то результатом будет число практически равное нулю), то соответствующие значения функции будут все ближе и ближе к b (если из b вычитать полученные значения функции, то результатом будет число практически равное нулю). При этом стоит заметить, что саму точку а не учитываем.

Посмотрим опять на первый график: Можно заметить что:


График функции на нашем рисунке непрерывен. Тогда, давайте напишем определение непрерывной функции:

Определение непрерывной функции.

Определение. Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если выполняется тождество:

Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если предел функции при x стремящимся к а, равен значению функции в точке x=a.

Функция непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке нашего отрезка.

Обобщение знаний о непрерывных функциях.

Полезно: В курсе высшей математики или математическом анализе, существует ряд теорем и утверждений которые доказывают, что все функции, которые мы с вами рассматривали в ранних курсах алгебры являются непрерывными, мы с вами интуитивно и с помощью графиков понимали, что функция непрерывна. Давайте обобщим изученное, важным утверждением:

Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных и тригонометрических выражений, то функция y=f(x) непрерывна в любой точке, в которой определенно выражение f(x).

Свойства функции

Если f(x)=b a g(x)=c то выполняются следующие свойства:


Примеры:
А) Найти предел функции:
Решение:
Наша функция непрерывна в точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности функции в точке, которое говорит что если функция непрерывна в точке, то предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке.


Б) Найти предел функции:
Решение:

Давайте посмотрим не обращается ли знаменатель нашей функции при x=π/2 в нуль:

Знаменатель не равен нулю, тогда наша функция непрерывна в точке . Воспользуемся определением непрерывной функции и посчитаем предел нашей функции:

Ответ: -1/3


В) Найти предел функции:

Подставим x=2 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте внимательно посмотрим на числитель нашей дроби.

x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

Сократим нашу дробь

Тогда получаем:

y= x+2 непрерывна точке x=2, тогда воспользуемся определением непрерывности
Ответ: 4

Г)Найти предел функции:

Решение:

Область определения функции

Наша точка x=2 не попадает в область определения, тогда предел функции не существует.
Ответ: Не существует.


Д) Найти предел функции:

Решение:

Подставим x=1 в знаменатель нашей дроби, получили 0, но на ноль делить нельзя. Давайте найдем корни квадратного уравнения в числители и воспользуемся теоремой Виета.

Ответ: -1


Е) Построить график функции y=f(x), которая обладает следующими свойствами:
1)Область определения – множество действительных чисел.

2)lim f(x)=3
3) f(2)=4
4) f(x)<0 при x<0
Решение:

Покажем один из возможных графиков.



Примеры для самостоятельного решения:
1) Найти предел функции:


2) Найти предел функции:

3) Найти предел функции:

4) Найти предел функции:

5)Построить график функции y=f(x), которая обладает следующими свойствами:
а)Область определения – множество действительных чисел.

б)
в) f(-2)=3

г) f(x)<0 при x<-1

д) f(x)>0 при x>-1