Контрольные на темы: "Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямой и плоскости", "Перпендикулярность прямых и плоскостей", "Многогранники" и др.

Контрольная работа №1

Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямой и плоскости

Вариант I

Часть А

1) Прямые a и b скрещивающиеся. Прямая с параллельна прямой b. Могут ли прямые а и с пересекаться?

2) Плоскость α проходит через верхнее основание трапеции АВСD. Докажите, что любая прямая, лежащая в плоскости α и параллельная прямой ВС, параллельна прямой АD. Точки М и N - середины боковых сторон. Найдите АD, если BC=8, MN=12.

3) Прямая FА проходит через вершину параллелограмма АВСD и не лежит в плоскости параллелограмма.
а) Докажите, что FA и CD скрещивающиеся.
б) Чему равен угол между прямыми FA и CD, если угол FAB равен 30 градусов?


Часть Б

1) Прямая а параллельна плоскости α, прямая b также параллельна плоскости α. Могут ли а и b:
а) Быть параллельными?
б) Пересекаться?
в) Быть скрещивающимися прямыми?


2) Точка М лежит вне плоскости параллелограмма АВСD.
а) Докажите, что средние линии треугольников MAD и MBC параллельны.
б) Найдите эти средние линии, если боковая сторона параллелограмма равна 5, а его высота равная 4 и делит сторону, к которой проведена, пополам.


3) Через вершину С квадрата АВСD, проходит прямая СК, не лежащая в плоскости квадрата.
а) Докажите, что СК и АD скрещивающиеся.
б) Чему равен угол между СК и АD. Угол СВК равен 45 градусов, угол СКВ равен 75 градусов?


Часть В

1) Две плоскости пересекаются по прямой L. Прямые L и A скрещивающиеся, прямые L и В параллельны. Могут ли прямые А и В:
а) Лежать в одной из плоскостей?
б) Лежать в разных плоскостях?
в) Пересекать эти плоскости?
В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых L и A.


2) Плоскость α пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно. BN:NC=5:8. MB:AB=5:13.
а) Докажите, что АС || α.
б) Найдите MN, если АС=26.


3) Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АС и BD, если АС=16, ВD=20. Расстояние между серединами AD и ВС равно 6.

Вариант II

Часть А

1) Прямые a и b параллельны. Прямая с скрещивающиеся с прямой b. Могут ли прямые b и с быть параллельны?

2) Плоскость α проходит через нижнее основание трапеции АВСD, докажите что любая прямая лежащая в плоскости α и параллельная прямой ВС, параллельна прямой АD. Точки М и N - это середины боковых сторон. Найдите ВС, если AD=24, MN=18.

3) Прямая GА проходит через вершину трапеции АВСD и не лежит в ее плоскости.
а) Докажите, что GА и ВC скрещивающиеся.
б) Чему равен угол между прямыми GА и ВC, если угол GAD равен 70 градусов?

Часть Б

1) Прямая а пересекает плоскость α, прямая b также пересекает плоскости α. Могут ли а и b:
а) Быть параллельными?
б) Пересекаться?
в) Быть скрещивающимися прямыми?


2) Треугольник АВС и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, MN||EF, EF||BC.
а) Докажите, что ВС|| KP.
б) Найдите KP и MN, если ВС=24. КР:MN = 8:3.


3) Точка F лежит вне плоскости трапеции ABCD.
а) Докажите, что AF и BC скрещивающиеся.
б) Чему равен угол между AF и BC, если угол AFD равен 70 градусов, угол FDA равен 40 градусов?

Часть В

1) Две плоскости пересекаются по прямой L. Прямые L и A скрещивающиеся, прямые L и В скрещивающиеся. Могут ли прямые А и В:
а) Лежать в одной из плоскостей?
б) Лежать в разных плоскостях?
в) Пересекать эти плоскости?
В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых L и A.


2) Плоскость α проходит через сторону АВ треугольника АВС. Прямая пересекает стороны ВС и АС в точках M и N соответственно. МС:ВC=6:13 NC:AN=6:7.
а) Докажите, что MN || α.
б) Найдите MN, если АС=39.


3) Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АС и BD, если АС=10, ВD=10. Расстояние между серединами AD и ВС равно 5.


Ответы на контрольную работу №1

Контрольная работа №2

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Вариант I

Часть А

1) Отрезок КС – перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, КВ перпендикулярно АВ.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей КАС и АВС.
в) Чему равен КВ, если АС=14, ВС=6. Угол КВС равен 45 градусам.

2) Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки А до плоскости α, если АВ=5, $АС=2\sqrt{23}$, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 60 градусам.

3) Из точки А к плоскости α проведены наклонные АВ и АС, образующие с плоскость угол 60 градусов. ВС=АС=6. Найдите АВ.

Часть Б

1) Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости АВС. Точка М - середина ВС. КМ перпендикулярно ВС. АВ=ВС
а) Докажите, что треугольник АВС - равносторонний.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей КВС и КАМ.
в) Найдите площадь треугольника АВС, если ВК=8, $КА=\sqrt{39}$, ВС=6.


2) Точка S удалена от вершин правильного треугольника на $\sqrt{33\frac{3}{4}}$ см. Найдите двугранный угол SABC, если АВ=9.

3) Прямая АВ – ребро двугранного угла, равного 90 градусов. Прямые $АА_{1}$ и $ВВ_{1}$ принадлежат разным граням данного угла. $АА_{1}||ВВ_{1}$, $ВВ_{1}$ перпендикулярно АВ. Докажите, что прямые $АА_{1}$ и $ВВ_{1}$ скрещивающиеся. Найдите угол между этими прямыми.

Часть В

1) Точка О лежит на биссектрисе угла АВС, равного 60 градусов, отрезок DO перпендикулярен плоскости АВС. АВ=АС.
а) Докажите, что точка D равноудалена от точек А и С.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей DAC и DOВ.
в) Найдите DB, если АС=12 и DO=8.


2) Равнобедренные треугольники АВС и АДС имеют общее основание АС, двугранный угол ВАСД - прямой. Найдите двугранный угол ДСВА, если угол АСД равен 45 градусов, а угол САВ равен 60 градусов.

3) В кубе $АВСДА_{1}В_{1}С_{1}Д_{1}$ постройте и найдите линейный угол между плоскостями сечений $АВ_{1}С_{1}Д$ и $А_{1}Д_{1}СВ$.


Вариант II

Часть А

1) Отрезок КС – перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, КВ перпендикулярно АВ.
а) Докажите, что треугольник АВС - прямоугольный.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей КАС и АВС.
в) Найдите КВ, если АС=16, ВС=8. Угол КВС равен 45 градусам.

2) Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки А до плоскости α, если АВ=20, АС=25, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 45 градусам.

3) Из точки А к плоскости α проведены наклонные АВ и АС и перпендикуляр АО. Наклонные образуют с этой плоскостью углы равные 60 градусам. Найдите ВС, если ВС=ВО, ОС=8.

Часть Б

1) Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости прямоугольника АВСД. Точка О - пересечение АС и ВД. КО перпендикулярно ВД.
а) Докажите, что АВСД - квадрат.
б) Перпендикулярность плоскостей КВД и КОА.
в) Найдите площадь прямоугольника АВСД, если КО=5, КА=3, угол ВКД равен 90 градусам.

2) Точка S удалена от вершин правильного треугольника на $\sqrt{48} см$. Найдите двугранный угол SABC, если АВ=12.

3) Прямая АВ – ребро двугранного угла, равного 45 градусам. Прямые $АА_{1}$ и $ВВ_{1}$ принадлежат разным граням данного угла. прямые $АА_{1}$ и $ВВ_{1}$ перпендикулярны прямой АВ. Каким может быть расположение прямых $АА_{1}$ и $ВВ_{1}$? Докажите свое утверждение.

Часть В

1) Отрезок ДО – перпендикуляр к плоскости угла АВС, равного 90 градусам. Точка О лежит внутри угла, а точка Д равноудалена от его сторон.
а) Докажите, что прямая ВО делит угол АВС пополам.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей DAC и DOВ.
в) Найдите DО, если АС=12 и DВ=16.

2) Равнобедренный треугольник АДС с углом Д равным 90 градусам, и равносторонний треугольник АВС имеют общее основание АС. Двугранный угол ВАСД - прямой.
а) Найдите все углы между прямыми проведенными к вершинам треугольника АВС и этой плоскостью.
б) Найдите углы треугольника образованного высотами треугольников АВС и АДС, опущенными к стороне АС.

3) В кубе $АВСДА_{1}В_{1}С_{1}Д_{1}$ постройте и найдите линейный угол между плоскостями сечений $С_{1}Д_{1}АВ$ и $ДСВ_{1}А_{1}$.


Ответы на контрольную работу №2

Контрольная работа №3

Многогранники

Вариант I

Часть А

1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 5см и катетом 4см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая наименьший катет – квадрат.

2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8см, и образует угол 30 градусов с плоскостью основания.
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности.

3) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АВ и делящее его в отношении 1:3, и проходящей параллельно ребру ВС. Найдите площадь сечения.


Часть Б

1) Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 48 и 20 см. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности.

2) Основание пирамиды - правильный треугольник с площадью равной $16\sqrt{3}$. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом 45 градусов.
а) Найдите длину ребер пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности.

3) Ребро куба $АВСДА_{1}В_{1}С_{1}Д_{1}$ равно а. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую $АД_{1}$ и середину ВС. Найдите площадь сечения.


Часть В

1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро - квадрат.

2) Основание пирамиды – ромб с меньшей диагональю d и тупым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро куба $АВСДА_{1}В_{1}С_{1}Д_{1}$ равно а. Постройте сечения куба плоскостью, проходящей через середины ребер $АА_{1}$, АД, $А_{1}В_{1}$.


Вариант II

Часть А

1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 5см и катетом 12см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая больший катет – квадрат.

2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания.
а) Найдите длину бокового ребра пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности.

3) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ. Найдите площадь сечения.


Часть Б

1) Основание прямого параллелепипеда – ромб с большей диагональю 30 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов и равна $24\sqrt{2}$. Найдите площадь полной поверхности.

2) Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой равной $6\sqrt{2}$. Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом 30 градусов.
а) Найдите длину ребер пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности.

3) Ребро куба $АВСДА_{1}В_{1}С_{1}Д_{1}$ равно а. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку В и середину ДА, параллельно $А_{1}Д$. Найдите площадь сечения.


Часть В

1) Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник с боковой стороной 26 см и основанием 20 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро - квадрат.

2) Основание пирамиды – ромб с боковой стороной равной а и острым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро куба $АВСДА_{1}В_{1}С_{1}Д_{1}$ равно а. Постройте сечения куба плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, $ДД_{1}$, $В_{1}С_{1}$.


Ответы на контрольную работу №3




Ответы на контрольную работу №1

Вариант I
Часть А
1. Да, если лежат в одной плоскости.
2. 16.
3. 30 см.

Часть Б
1.
2. 3.
3. 60.

Часть В
1.
2. 10.
3. 90.


Вариант II
Часть А
1. Нет.
2. 12.
3. 70.

Часть Б
1.
2. КР=32; MN=12.
3. 70.

Часть В
1.
2. 18.
3. 60.

Ответы на контрольную работу №2

Вариант I
Часть А
1. $\sqrt{116}$.
2. 6.
3. 6.

Часть Б
1. 12.
2. 45.
3. 90.

Часть В
1. 16.
2. 60.
3. 90.

Вариант II
Часть А
1. 4$\sqrt{10}$
2. $7,5\sqrt{2}$.
3. 8.

Часть Б
1. 32.
2. 60.

Часть В
1. 8.
2. а) 45, 45, 30; б) 30,60,90.
3. 90.



Ответы на контрольную работу №3

Вариант I
Часть А
1. 36.
2. а) 4; б) $16\sqrt{15}$.
3. $\frac{а^2\sqrt{3}}{64}$.

Часть Б
1. 5952.
2. a) $4\sqrt{3}$, $4\sqrt{7}$, $4\sqrt{7}$; б) $32\sqrt{3}+16\sqrt{6}$.
3. $1,125а^2$.

Часть В
1. 259,2.
2. $\frac{d^2}{2}*tg(\frac{α}{2})*cos(β)$.
3. $\frac{3а^2\sqrt{3}}{4}$.


Вариант II
Часть А
1. 360.
2. а) $6\sqrt{2}$; б) $72\sqrt{3}$.
3. $\frac{а^2\sqrt{3}}{36}$.

Часть Б
1. $144\sqrt{41}+360$.
2. а) 3, $3\sqrt{5}$, $3\sqrt{5}$; б) $18+18\sqrt{2}$.
3. $\frac{9а^2}{8}$.

Часть В
1. 1104.
2. $\frac{a^2 sin(α)}{cos(β)}$.
3. $\frac{3а^2\sqrt{3}}{4}$.