Ребята, задание №8 можно условно назвать "Уравнения, неравенства и их системы". Вы должны уметь решать квадратные, линейные и рациональные неравенства, а также их системы.

Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:

1.Примеры решения линейных неравенств.
2. Примеры решения квадратных неравенств.
3. Примеры решения систем неравенств.


Дальше разберем конкретные примеры.

Пример 1.
Решить неравенство: $x^2-4x≤0$. В ответе укажите количество целых решений.

Решение.
Решение неравенств во многом похоже на решение уравнений. Для начала нам надо найти корни. Для этого вынесем общий множитель: $x(x-4)≤0$.
Очевидно, корнями нашего уравнения являются числа 0 и 4.
Изобразим их на числовой прямой.
В промежутке между корнями знак остается постоянным, положительные с отрицательными значениями чередуются. Положительные или отрицательные значения принимает неравенство, можно определить двумя способами:
1. Непосредственно подставить какое-нибудь число. В нашем случае удобно подставить единицу. При $х=1$ получаем отрицательное значение, значит в этом промежутке неравенство выполняется.
2. Знак самого правого промежутка совпадает со знаком старшей степени. В нашем случае старшая степень вторая, и перед х квадрат стоит плюс.
Изобразим знаки чередования:
Знак нашего неравенства – меньше либо равно. Значит надо выбрать промежуток с минусом.
Решением нашего неравенства будет промежуток: $0≤x≤4$.
Выпишем все целые числа из этого промежутка: $0; 1; 2; 3; 4; 5$. Получили шесть чисел, это и будет ответом.
Ответ: 6.

Пример 2.
Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке? 1) $x^2-16≥0$;
2) $x^2-16≤0$;
3) $x^2-16>0$;
4) $x^2-16<0$.

Решение.
Посмотрим внимательно на рисунок. Первое, на что следует обратить внимание, закрашены или нет кругляшки. В нашем случае закрашены, значит неравенство не строгое. 3 и 4 ответы сразу откидываем.
Предложенные неравенства отличаются только знаком. Корнями очевидно будут числа $±4$. Осталось определить знаки промежутка. Коэффициент при старшей степени положителен, значит крайний правый промежуток тоже положителен. Изображенным решением является $[-4;4]$, что соответствующий промежутку с минусом. Тогда неравенство имеет знак меньше либо равно.
Ответ: 2.

Пример 3.
Какой из промежутков является решением неравенства: $x-9x^2>0$:
1) $[0;9]$;
2) $(0;9)$;
3) $(-∞;0)U(9;+∞)$;
4) $(-∞;0]U[9;+∞)$?

Решение.
Решим неравенство, корнями являются числа 0 и 9. Коэффициент при старшей степени отрицателен, значит, правому промежутку будут соответствовать минус.
Знак нашего неравенства ">", значит выбираем промежуток с "+".
Ответ: 2.

Пример 4.
При каких значениях $x$ значение выражения $7x + 8$ меньше, чем значения выражения $6x – 10$? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) $x >-18$.
2) $x<-2$.
3) $x>− 2$.
4) $x<−18$.

Решение.
Нам надо решить линейное неравенство:
$7x + 8<6x-10$.
$7x-6x<-10-8$.
$x<-18$.
Ответ: 4.

Пример 5.
Решите неравенство: $4x+5<8x+3$.
В ответе укажите номер правильного варианта:
1) $[−0,5; +∞)$;
2) $(−∞; 0,5]$;
3) $[0,5; +∞)$;
4) $(−∞; −0,5]$.

Решение.
Нам представлено линейное неравенство. То, что содержит х переносим налево, остальное направо:
$4x-8x<3-5$.
$-4x<-2$.
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. $x>0,5$.
Ответ: 3.

Пример 6.
Решите неравенство: $\frac{x+3}{x-5}≤0$.
На каком из рисунков изображено множество его решений? Решение.
При решении неравенств на координатной прямой следует изображать не только корни, но и те точки, в которых выражение не определенно. В нашем случае при $х=5$ получается деление на ноль, этого делать нельзя.
Коэффициенты при х положительные, значит крайний правый промежуток имеет знак "+".
Знак неравенства меньше либо равно, тогда нам нужен промежуток с минусом. Нашему решению подходит рисунок №2.
Ответ: 2.

Пример 7.
Решите систему неравенств: $\begin {cases} x^2-4≥0, \\ x+5<12 \end {cases}$.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) $[−2; 7)$;
2) $(−2; 7]$;
3) $(-∞;-2]U[2;7)$;
4) $(-∞;2)U(2;7)$.

Решение.
Нам нужно решить каждое неравенство по отдельности. Затем найти промежутки, в которых решения пересекаются. Решим неравенство: $x^2-4≥0$.
$(x-2)(x+2)≥0$.

Решением данного неравенства будет промежуток: $(-∞;-2]U[2;+∞)$.
Решим второе неравенство.
$x+5<12$.
$x<7$.
Изобразим оба решения на одной числовой прямой:
Пересечением является промежуток $(-∞;-2]U[2;7)$.

Пример 8.
Решите уравнение: $\frac{3-x}{4}-x=1$.

Решение.
По большому счету нам представлено линейное уравнение. Приведем все выражение к общему знаменателю: $\frac{3-x}{4}-\frac{x}{4}=\frac{1}{4}$.
При одинаковых знаменателях надо рассматривать выражения в числителях:
$3-x-x=1$.
$-2x=-2$.
$x=1$.
Ответ: 1.

Александр Шабалин