МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

Номер свидетельства СМИ ЭЛ № ФС 77 - 63677 зарегистрировано Роскомнадзором

Задачи и примеры по классам:

Уроки и презентации по классам:

Тесты и тренажеры по классам



Самостоятельные работы:

1 класс: Петерсон Л.Г.   Моро М.И.    2 класс: Моро М.И.    3 класс: Моро М.И.    4 класс: Моро М.И.    5 класс: Виленкина Н.Я.    6 класс: Виленкина Н.Я.    7 класс: Мордковича А.Г.   Атанасяна Л.С.  

Домашние задания:

1 класс: Моро М.И.   2 класс: Моро М.И.   3 класс: Моро М.И.   4 класс: Моро М.И.   5 класс: Виленкина Н.Я.   6 класс: Виленкина Н.Я.   7 класс: Мордковича А.Г.  


Задачи на движение

Задачи по математике на встречное движение, противоположное движение и движение в одном направлении





ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ, с методическими указаниями

Как известно, все задачи на движение можно разделить на три основных вида в зависимости от того, что в них требуется определить: путь, пройденный движущимся телом, скорость или время движения. Для каждого вида задач на движение существуют определенные способы решения их. Все это ученики должны уяснить в процессе решения достаточного количества задач и составления их, особенно таких, в которых сами дети являются движущимися телами.
Задачи на движение речных судов имеют ту особенность, что в них, помимо перемещения самих судов, надо учитывать течение воды в реке, которое ускоряет или замедляет движение судна. Возьмем для примера задачу на встречу двух судов, совершающих рейсы по течению и против течения. При решении такси задачи было бы целесообразно заблаговременно достать расписание движения судов по одной нз рек. Основываясь на данных расписания, ученики могут узнать, как рассчитывается скорость парохода с учетом скорости течения реки, составить свои задачи на движение судов с данными из того же расписания, а учитель разъяснит о способах составления расписания движения речных судов.
Полезно, чтобы дети знали, что пароход (или теплоход) идет не все время с одинаковой скоростью: у пристани он стоит (и тогда у него нет никакой скорости), отходя от пристани, он наращивает свою скорость, подходя к пристани, замедляет ее. Отсюда ясно, что скорость судна, которую можно вычислить по расписанию, является средней скоростью (такие скорости называются эксплуатационными). Ознакомление с расписанием движения судов даст учащимся важные практические навыки для их будущей деятельности.
Если населенный пункт, в котором расположена школа, находится у линии железной дороги или вблизи пассажирской автобусной станции, то весьма полезно будет познакомить детей с расписанием движения поездов или автобусов, научить их пользоваться этими расписаниями и на основе его составить ряд задач на движение, используя эксплуатационные скорости движения поездов или автобусов. При этом надо помнить, что эти скорости являются средними.
При решении задач на прямолинейное и равномерное движение необходимо, чтобы ученики практически уяснили:
1) при любых скоростях движущиеся тела при одновременном начале движения до встречи затрачивают одно и то же время (хотя бы одно тело двигалось очень быстро, а другое очень медленно);
2) одинаковое расстояние проходят движущиеся тела только в том случае, если они имеют одинаковые скорости и находятся в пути одно и то же время;
3) если скорости движущихся навстречу тел различные, то встреча происходит ближе к тому пункту, от которого тело движется с меньшей скоростью; 4) чем с большей скоростью движется тело, тем меньше оно затратит времени для передвижения между двумя данными пунктами.
С целью уяснения этих понятии желательно (если имеется возможность) составить задачи, в которых участвовали бы сами дети. Приведем примеры таких задач.

1. Задача на встречу двух пешеходов, имеющих одинаковую скорость движения. От двух вех, расположенных на расстоянии около 240 м друг от друга, одновременно выходят навстречу два пешехода, имеющие приблизительно одинаковые скорости движения. Требуется проследить, когда и где они встретятся, т. е. через сколько минут и секунд после начала движения, и на каком расстоянии от исходных пунктов.
Указание. Можно движение пешеходов ограничить встречей, чтобы показать, что до встречи оба пешехода шли одинаковое время. Но можно движение пешеходов продолжать до конечного пункта и тем самым показать, что и к конечному пункту каждый из них придет за одно и то же время (при условии равенства скоростей).
При составлении этой задачи лучше всего, зная скорости пешеходов, подобрать такое расстояние между вехами, чтобы пешеходы встретились и прошли все расстояние в целое число минут. В дальнейшем, впрочем, это делать не обязательно.

2. Задача на встречу двух пешеходов, имеющих различные скорости движения. От двух вех, поставленных на расстоянии 240 м, одновременно выходят навстречу друг другу два пешехода: один — со скоростью 50 м в минуту, а другой — 70 м в минуту. Требуется узнать, через сколько минут они встретятся, на каком расстоянии от исходных пунктов и сколько времени каждый из них затратит на прохождение всего расстояния.
Формула решения: число минут равно 240: (а+b), где а и b — скорости движения пешеходов в минуту.
Указание. Дети должны убедиться, что в случае движения с различными скоростями встреча произойдет через одно и то же число минут после начала движения (через 2 мин), но путь до встречи каждый пешеход пройдет неодинаковый (пешеход с меньшей скоростью — 100 м, а с большей—140 м) и время для прохождения всего пути (240 м) каждый затратит различное (пешеход с меньшей скоростью — 4 мин 48 сек, а с большей приблизительно — 3 мин 26 сек).

3. Задача на движение двух пешеходов навстречу друг другу. Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Один из них проходил 54 м в минуту, а другой — 60 м в минуту. Встретились они через 3 мин. Какое расстояние между пунктами?
В результате решения практических задач учащиеся убеждаются в том, что встречное движение — это движение в противоположных направлениях: один движется направо, другой — налево, один — на север, другой — на юг и т. д. (а при встрече пароходов на реке: один —по течению, другой—против течения). Здесь они видели, что при движении в противоположных направлениях встреча движущихся тел всегда осуществлялась. Но всегда ли это бывает? Надо показать на практике, что при движении в противоположных направлениях встречи может и не быть, если движение начнется из одного пункта (а также и из двух пунктов). Приведем задачу.

4. Два пешехода одновременно отправились от одной вехи в прямо противоположных направлениях (один — на север, другой — на юг), причем один из них шел со скоростью 60 м в минуту, а другой — со скоростью 70 м в минуту. Требуется узнать, на каком расстоянии они будут друг от друга через 1 мин, 2 мин, 3 мин. Сделайте иллюстрацию к задаче.
Приведем задачи, составленные на основе действующих расписаний поездов, судов и т. д.

5. Между городами Горьким и Астраханью совершают рейсы теплоходы. Через сколько часов и на каком расстоянии от Горького и Астрахани встретятся два теплохода, если они выйдут навстречу друг другу одновременно и если скорость теплохода, идущего из Горького, 19 км в час, а из Астрахани— 16 км в час? Сделайте краткую запись условия с помощью иллюстрации.
Справка. Расстояние от Горького до Астрахани по Волге около 2240 км.
Указание. Данные о скоростях и расстоянии являются числами округленными (для упрощения вычислений); скорости указаны эксплуатационные, т. е. с учетом замедлении и остановок.
Ответ. Теплоходы встретятся через 64 ч, от Горького— на расстоянии 1216 км, от Астрахани—1024 км.

6. На участке от Астрахани до села Никольского теплоход идет без остановок против течения реки. Скорому теплоходу по расписанию планируется 14 ч хода. Какая скорость запланирована теплоходу на этом участке (против течения реки), если расстояние от Астрахани до Никольского 239 км? Сделайте запись условия.
Ответ. Около 17 км в час.

7. Теплоход, идущий из Москвы в Астрахань, проходит в сутки в среднем по 400 км, а теплоход, идущий из Астрахани в Москву,— по 375 км. Через сколько суток и на каком расстоянии от Москвы и Астрахани эти теплоходы встретятся, если они выйдут от конечных пристаней одновременно? Сделайте запись условия.
Справка Расстояние от Москвы до Астрахани по Волге и каналу около 3100 км.

8. Если теплоходы, совершающие рейсы между Москвой и Астраханью, отойдут от конечных пристаней в одно время, то они встретятся через четверо суток. С какой скоростью в сутки идет теплоход из Астрахани, если теплоход из Москвы проходит 400 км в сутки? (Расстояние между Москвой и Астраханью по Волге и каналу дано в предыдущей задаче.) Сделайте запись условия.
Формула решения: скорость астраханскою теплохода в сутки равна (3100—400• 4) :4 = 375 (км).

9. Судно, идущее из Москвы в Ростов-на-Дону, проходит в среднем 325 км в сутки, а судно, идущее из Ростова-на-Дону в Москву, — 308 км в сутки.
Определите: 1) на каком расстоянии друг от друга будут эти суда через трое суток; 2) через сколько суток они встретятся и 3) на каком расстоянии от Москвы, при условии, если оба судна одновременно отойдут от конечных пунктов, Сделайте запись условия (иллюстрацию). Справка. Расстояние от Москвы до Ростова-на-Дону по Волге, каналам и Дону — 3165 км. 10. В 9 ч из Москвы отправляется скорый поезд, средняя скорость которого составляет 47 км в час. В 12ч того же дня навстречу ему из Астрахани выходит пассажирский поезд, средняя скорость которого 40 км в час. Через 12 ч после отправления поезда из Астрахани расстояние между поездами сократилось до 365 км. Каково расстояние от Москвы до Астрахани но железной дороге?

11. В 9 ч утра из Москвы вышел скорый поезд, а в 12 ч того же дня навстречу ему вышел из Астрахани пассажирский поезд. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 9 ч после отправления поезда из Астрахани? Сделайте запись условия.
Справка. Расстояние от Москвы до Астрахани по железной дороге вычислено в предыдущей задаче. Там же даны и скорости поездов.
Ответ. 626 км. Формула решения:
х= 1550—(4742 + 409) =626.

12. Когда пассажирский поезд, идущий из Астрахани в Москву, прошел 700 км, то скорый, вышедший 12 ч тому назад из Москвы в Астрахань, был от него на расстоянии 286 км. С какой скоростью шел скорый поезд?

Подобные задачи можно составить, как говорилось выше, на основе расписания движения автобусов на междугородных маршрутах. Чтобы убедиться, насколько сознательно и прочно дети усвоили задачи на движение, целесообразно проделать такие упражнения.