Предварительное разложение алгебраической дроби на множители

Перед началом работы с дробями, а именно на умножении и делении, желательно произвести разложение числителя и знаменателя на множители. Это облегчит разложение на множители дроби, которая получится в результате математического действия.

Например, дана дробь:

$\frac{8x+8y}{16}$.

Произведем тождественное преобразование, то есть разложим числитель на множители.

$\frac{8x+8y}{16}=\frac{8(x+y)}{16}$.

Или, например, дана такая дробь:

$\frac{x^2-y^2}{x+1}$.

Её лучше привести к такому виду:

$\frac{x^2-y^2}{x+1}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+1}$.

Не забываем про свойство:

$(b-a)^2=(a-b)^2$.

Умножение алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями

Умножение алгебраических дробей производится так же, как и умножение обыкновенных дробей. Перемножаются между собой числители и знаменатели.
В виде формулы это можно представить следующим образом:

$\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.


Вычислите:

$\frac{5x+5y}{x-y}*\frac{x^2-y^2}{10x}$.

Разложим дробь на множители.

$\frac{5x+5y}{x-y}*\frac{x^2-y^2}{10x}=\frac{5(x+y)}{x-y}*\frac{(x-y)(x+y)}{10x}$.

Приведем обе дроби к общему знаменателю (вспомним урок: "Сложение и вычитание дробей", где были подсказки, как лучше и проще подбирать общий знаменатель). В итоге получим дробь.

$\frac{5(x+y)(x-y)(x+y)}{(x-y)*10x}=\frac{(x+y)^2}{2x}$

Пример 2.

Вычислите:

$\frac{7a^3b^5}{3a-3b}*\frac{6b^2-12ab+6a^2}{49a^4b^5}$.

Разложим на составные множители и сократим дробь.

$\frac{7a^3b^5}{3a-3b}*\frac{6(b^2-2ab+a^2)}{49a^4b^5}=\frac{7a^3b^5*6(b-a)^2}{3(a-b)*49a^4b^5}=\frac{2(b-a)^2}{7a(a-b)}$.

Деление алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями

Деление дробей производится так же, как и деление обыкновенных дробей, то есть нужно дробь "делителя" перевернуть и произвести умножение.

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$

Рассмотрим примеры.

Пример 3.

Выполните действия:

$\frac{x^3-1}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}$.

Разложим дроби на множители.

$\frac{x^3-1}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}$.

Теперь переворачиваем дробь и умножаем.

$\frac{(x-1)(x^2+x+1)*16y^2}{8y*(x^2+x+1)}=2y*(x-1)$.

Пример 4.

Вычислите:

$\frac{a^4-b^4}{ab+2b-3a-6}:\frac{b-a}{a+2}$.

Разложим на множители и сгруппируем многочлены.

$\frac{a^4-b^4}{ab+2b-3a-6}:\frac{b-a}{a+2}=\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(ab+2b)-(3a+6)}:\frac{b-a}{a+2}=$

$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{b(a+2)-3(a+2)}:\frac{b-a}{a+2}$.

Переворачиваем и умножаем дроби.

$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+2)}{(a+2)(b-3)(b-a)}=\frac{-(a+b)(a^2+b^2)}{(b-3)}$.