Натуральные числа

Ребята, вы хорошо знаете, что такое натуральные числа. Это числа, которые мы используем при счете: 1, 2, 3 ,… Обозначают множество натуральных чисел символом: N. Множество натуральных чисел бесконечно. Причем для любого натурального числа всегда найдется число, которое больше данного.

Действительные числа

Если к натуральным числам прибавить 0 и все отрицательные числа -1,-2,-3…, то получится множество действительных целых чисел, которое принято обозначать Z. Урок:
"Множество действительных чисел". Ввод отрицательных чисел был необходим для того, чтобы из меньших чисел можно было вычитать большие. Сумма, разность, произведение – снова дают целые числа.

Рациональные числа

А если к множеству целых чисел, добавить множество всех обыкновенных дробей

$\frac{2}{3}$, $-\frac{1}{2}$, …?

Подробнее дробям посвящены уроки: "Сложение и вычитание дробей" и "Умножение и деление дробей". Первое упоминание о дробях появилось еще в древнем Египте. При вычислении длин, веса и площадей люди столкнулись с тем, что не всегда получается целое значение. Вообще дроби, в узком смысле, встречаются практически везде. Когда мы делим пирог на несколько частей, с математической точки зрения мы получаем дроби. Множество дробей принято называть "множеством рациональных чисел" и обозначать Q.

Любое рациональное число может быть представлено в виде:

Если любое целое число мы разделим на натуральное число, то получим рациональное число. Деление на натуральное число в такой записи удобно, в том смысле, что мы исключили операцию деления на ноль. Рациональных чисел бесконечно много, но зато все эти числа можно перенумеровать.
Рассмотрев множества выше, мы видим, что каждое последующее содержит в себе предыдущие:

$N⊂Z.⊂Q$

.
Знак ⊂ обозначает подмножество, то есть множество натуральных чисел содержится в множестве целых чисел и так далее. Подробнее с понятием множества мы с вами познакомимся в девятом классе. "Множества и подмножества рациональных чисел"

Давайте рассмотрим три рациональных числа:

$5$; $0,385$; $\frac{2}{3}$

.
Каждое из этих чисел мы можем представить в виде бесконечной десятичной дроби:

$5=5.00000…$
$0,385=0,38500…$

Разделив столбиком 2 на 3, также получим бесконечную десятичную дробь:

$\frac{2}{3}=0.6666…$

Таким образом, любое рациональное число мы можем представить в виде бесконечной дроби. Для теоретической математики это имеет большое значение. Для практики и нам с вами при решении задач большого смысла нет представлять обычную пятерку в виде бесконечной десятичной дроби.

Если в десятичной записи числа повторяются одни и те же числа, то это называется "периодом". В нашем случае для числа

$\frac{2}{3}=0,6666…$

периодом будет число $6$. Обычно период числа принято обозначать в скобках $\frac{2}{3}=0,(6)$. Сама дробь в таком случае называется бесконечной десятичной периодической дробью.
Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Обратная операция также верна.

Пример.
Представить в виде обыкновенной дроби:
а) $2,(24)$.
б) $1,(147)$.

Решение.
а) Пусть $x=2,(24)$. Помножим наше число так, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на период. $100х=224,(24)$.
Выполним следующую операцию:

$100х-х=224,(24)-2,(24)$.

$99х=222$.

$х=\frac{222}{99}$ – рациональное число.

б) Поступим также.

$х=1,(147)$, тогда $1000х=1147,(147)$.
$1000х-х=1147,(147)-1,(147)$.

$999х=1146$.

$х=\frac{1146}{999}$.

К сожалению, описать все числа с помощью множества рациональных чисел не удалось. На прошлом уроке "Корень квадратный" мы с вами познакомились с операцией вычисления корня квадратного. Так, длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами равными 1 и 2 равна $\sqrt{5}$. Это число не может быть представлено в виде несократимой дроби, а значит, не является рациональным. Таким образом, нам необходимо расширить наше понимание о множествах чисел.

Иррациональные числа

В математике не принято говорить, что числа не рациональные, обычно говорят, что такие числа иррациональные. По другому говоря, иррациональное число – неразумное число, в некотором смысле непонятное.
Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, но в отличие от рациональных чисел никакого периода уже тут не будет. То есть выделить порядок в записи хвостика числа не возможно. Вы можете убедиться в этом сами, возьмите калькулятор и вычислите $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{10}$… Калькулятор вычислит приближенное значение, с точностью до того знака, который умещается на экран. Посмотрев на полученные числа, можно убедиться, что после запятой явно ни какого порядка нет.

Иррациональным числом называют бесконечную непериодическую дробь.
Если $n≠k^2$, где $n,kϵN$, то есть $n$ не является точным квадратом другого натурально числа, то $\sqrt{n}$ - иррациональное число.
Иррациональные числа встречаются довольно таки часто. Одним из самых ярких примеров является знаменитое и важное число π. Если рассмотреть совершенно любую окружность и разделить ее длину на диаметр то всегда, получается π. Было доказано, что это число иррациональное.
Операции над иррациональными числами проводить довольно таки сложно. Даже в современной математике остались вопросы о роде многих чисел. Многие математики, занимающиеся теорией чисел, бьются над известными проблемами иррациональных в течение сотен лет.

Но мы можем подвести некоторый итог:
1. Если складывать, вычитать, умножать, делить (кроме деления на 0) рациональные числа, то в ответе получится рациональное число.
2. Арифметические операции над иррациональными числами могут привести как к иррациональному числу, так и рациональному.
3. Если в арифметической операции участвуют как рациональные, так и иррациональные числа, то в результате получится иррациональное число.