Разбор задания №2 на темы: "Координатная и числовая прямая". "Умение оценивать число (определять: в каком промежутке оно находится?)". "Возведение абстрактного числа в степень с сохранением и учетом всех свойств". "Понятие "модуль числа". Работа с дробными и отрицательными числами" и др.

Ребята, во втором задании требуется знание и умение работать со следующими темами. Пониманием координатной и числовой прямой. Умение оценивать число, точнее сказать то в каком промежутке оно находится. Умение возводить это абстрактное число в степень с сохранением и учетом всех свойств. Знать, что такое модуль числа. Хорошее умение работать с дробными и отрицательными числами.

Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:

1.Пропорции и отношения, примеры.
2. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями, примеры.
3. Умножение и деление алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями. Свойства дробей, примеры.
4. Примеры решения линейных неравенств.
5. Числовая прямая или координатная прямая. Урок в разработке.
6. Возведение числа в степень. Урок в разработке.
7. Модуль числа.
8. Корень квадратный. Урок в разработке.


Дальше разберем конкретные примеры.

Пример 1.
Выберите верное утверждение относительно чисел a и b, расположенных на числовой прямой.
1) $a-b<0$;
2) $|b|>|a|$;
3) $b<\frac{1}{a}<0$;
4)$-ab>0$;

Решение.
Давайте внимательно посмотрим на представленную числовую прямую. Числа а и b отмечены точками, а вертикальные черточки – цена деления единичного отрезка.
Теперь посмотрим внимательно на каждое из чисел.

Способ 1.
Число а расположено правее единицы, но видно, что оно левее следующего деления. Можно сделать вывод, что $1<a<2$. Также обратим внимание, что число а гораздо ближе к единице, чем к двойке. Точного значения числа а мы конечно не знаем, но можем предположить, что оно приблизительно равно 1,3.
Теперь перейдем к числу b. Сразу видно, что оно отрицательное, так как расположено левее нуля. Также заметим, что оно расположено левее минус двух. Приблизительно оценим число b. Пусть $b=-2,5$. Перейдем к рассмотрению каждого утверждения по отдельности.

1) Проверим, что $a-b<0$. Подставим приблизительные значения чисел.
$a-b=1,3-(-2,5)=1,3+2,5$. Очевидно, что число полученное сложением будет больше нуля, его можно даже не вычислять. Получили, что утверждение 1 – не верно.

2) Проверим $|b|>|a|$. В данном примере нам представлен модуль – абсолютное значение числа. Мы хорошо помним, что модуль из отрицательного числа будет равен этому же числу без минуса, а модуль положительного числа равен самому числу.
Тогда: $|-2,5|=2,5$,
$|1,3|=1,3$.
Мы выполнили равносильное преобразование, и можем спокойно сравнивать абсолютные значения. $2,5>1,3$.
Получили верное утверждение.

3) Проверим $b<\frac{1}{a}<0$.
Просто подставим предполагаемые значения и проверим данное утверждение. $-2,5<\frac{1}{1,3}<0$.
Внимательно посмотрим на конец полученного неравенства: $\frac{1}{1,3}<0$.
Мы получили неверное утверждение, так как $\frac{1}{1,3}$ – положительное число, а значит оно больше нуля. Утверждение неверно.

4) Проверим $-ab>0$.
Опять же непосредственно проверим подстановкой: $-1,3*(-2,5)=1,3*2,5$
Очевидно, что это число больше нуля, вычислять его не обязательно и будет тратой времени.
Утверждение 4 верно.

Способ 2. Данный способ подходит для тех, кто хорошо умеет представлять себе числа. В каких диапазонах число может находиться?

1) $a-b<0$?
Число а – положительное, число b – отрицательное. Положительное число минус отрицательное число всегда получается положительное число, поэтому утверждение не верно.

2) $|b|>|a|$?
Модуль числа равен расстоянию от начала числовой прямой (значение равное нулю) до самого числа. По представленному рисунку видно, что расстояние от нуля до числа b больше, чем расстояние от нуля до числа a. Утверждение верное.

3) $b<\frac{1}{a}<0$?
В данном примере можно сразу заметить, что неравенство неверно. Единица деленная на положительное число – все равно получится положительное число, то есть $\frac{1}{а}>0$. Утверждение не верное.

4) $-ab>0$?
Минус стоящий перед положительным числом а, делает его сразу же отрицательными. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число. Утверждение верное.
Ответ: 24.

Пример 2.
На координатной прямой отмечено число а. Какое из утверждений является верным?
1) $–a<2$.
2) $-1-a>0$.
3) $\frac{1}{a}>0$.
4) $a+3<0$.

Решение.
Данный пример похож на предыдущий. Давайте его решим первым способом, приблизительно оценив число а.
Наше число а находится в диапазоне от минус трех до минус двух, причем гораздо ближе к минус двум. Тогда, можно сказать что число а приблизительно равно -2,2. Проверим каждое утверждение.

1) $–a<2$?
$-а=-(-2,2)=2,2$. Но $2,2>2$, значит утверждение неверно.

2) $-1-a>0$?
$-1-a=-1-(-2,2)=-1+2,2=1,2>0$ Получили верное утверждение.

3) $\frac{1}{a}>0$?
$\frac{1}{a}=\frac{1}{-2,2}=-\frac{1}{2,2}<0$. Получили неверное утверждение.

4) $a+3<0?$
$a+3=-2,2+3=3-2,2=0,8>0$. Получили неверное утверждение.
Ответ: 2.

Пример 3.
Одно из чисел $\frac{5}{6}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{5}{12}$ отмечено на координатной прямой точкой А. Укажите это число. 1) $\frac{5}{6}$, 2) $\frac{5}{7}$, 3) $\frac{5}{9}$, 4) $\frac{5}{12}$.

Решение.

Будем рассуждать следующим образом.
Число $\frac{5}{7}$ мы можем откинуть сразу, так как оно изображено на координатной прямой и наша точка А с ним не совпадает.
На нашем рисунке отрезок [0;1] разделен на семь частей. Наша точка лежит на отрезке, который находится в самой середине. Первый вывод, который мы можем сделать, что значение, которое задает точка А не сильно отличается от 0,5. Теперь давайте оценим: это значение больше или меньше, чем 0,5. Разделив отрезок [0;1] пополам, мы видим, что точка А лежит правее, а это значит, что и значение в этой точке будет больше 0,5.
Число $\frac{5}{6}$ нам не подходит, так как расположено гораздо ближе к 1, чем к 0,5.
Число $\frac{5}{12}$ нам тоже не подходит, так как $\frac{6}{12}=0,5$, так как $\frac{5}{12}<\frac{6}{12}$. А требуемое число должно быть больше 0,5.
Осталось число $\frac{5}{9}$. Давайте убедимся, что оно нам подходит на самом деле. $\frac{5}{9}>\frac{4,5}{9}=0,5$.
Данное число больше 0,5 и расположено довольно таки близко к нему. Из всех предложенных вариантов данное число подходит больше всего.
Ответ: 3.

Пример 4.
Какое из следующих чисел заключено между числами $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$?
1) 0,1.
2) 0,2.
3) 0,3.
4) 0,4.

Решение.
Способ 1.
Переведем представленные дроби в десятичные. Вы можете разделить столбиком представленные числа или использовать любой другой способ, который вы знаете.
$\frac{1}{4}=0,25$ и $\frac{1}{3}=0,333…$.
Из представленных чисел, очевидно, что $0,25<0,3<0,3333$.

Способ 2.
Данный способ гораздо более громоздкий, но кому то может и подойдет.
Используя линейку, на листке бумаги нарисовать отрезок длиной 10 см. Разделить его на 10 равных частей. Принять начало отрезка равным нулю, а конец отрезка равным единице. Тогда 10 равных частей отрезка будут соответствовать числам 0,1;0,2;0,3… 0,9.
Приняв, что $\frac{1}{4}$ составляет ровно четверть всего отрезка, отметить данную точку.
Мысленно поделить отрезок на 4 части.
Приняв, что $\frac{1}{3}$ составляет ровно треть всего отрезка, отметить данную точку.
Мысленно поделить отрезок на 3 части.
На рисунке видно, что число 0,3 заключено между требуемыми дробями.
Ответ: 3.

Пример 5.
На координатной прямой отмечено число а.
Найдите наибольшее из чисел $a$, $a^2$, $a^3$.
1) $a$.
2) $a^2$.
3) $a^3$.
4) не хватает данных для ответа.

Решение.
Внимательно посмотрим на представленную координатную прямую. Число а меньше нуля, но больше минус одного. Также можно заметить, что от середины отрезка это число ближе к нулю, то есть $-0,5<a<0$.

Теперь посмотрим на представленные варианты ответов.
1) $a$ – само число а; мы оценили выше.
2) $a^2$ – отрицательное число в квадрате будет положительным. Можно смело говорить, что $a^2>a$.
3) $a^3=a*a*a$. Число а надо умножить на себя три раза. Мы хорошо помним, что число а отрицательное, и нечетное количество перемножений числа на самого себя сохраняет знак. Значит число $a^3$ будет отрицательным.
4) Не хватает данных для ответа. Данный вариант мы не рассматриваем, так как очевидно, что данных достаточно.

Итак, мы получили, что из представленных ответов два числа отрицательных и одно положительное. Ответ в данном случае очевиден.
Ответ: 2.

Пример 6.
На каком из ниже перечисленных отрезков координатной прямой находится число $\sqrt{17}+2$?
1) $[3;4]$.
2) $[5;6]$.
3) $[6;7]$.
4) $[7;8]$.

Решение.
В данном примере нам понадобится умение работать с квадратными корнями и умение составлять числовые неравенства.
Давайте оценим $\sqrt{17}$. Мы можем точно сказать, что $\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}$.
То есть при решении задач такого типа нужно выбрать два соседних, максимально близки числа, из которых можно извлечь корень. Проведем дальнейшие преобразования.
$\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}$.
$4<\sqrt{17}<5$.
Прибавим к полученному результату 2, используя правила сложения в неравенствах.
$4+2<\sqrt{17}+2<5+2$.
$6<\sqrt{17}+2<7$.
Теперь, мы точно знаем, в каком промежутке лежит наше число $\sqrt{17}+2ϵ[6;7]$.
Ответ: 3.

Александр Шабалин